[论文解读] Fast Reachability Using DAG Decomposition

Giorgos Kritikakis, Ioannis G. Tollis|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文提出了一种快速、实用的线性时间算法，用于有向无环图（DAG）的链分解，实现了接近最优的链数量。通过利用路径拼接并利用 |Ered| ≤ width × |V| 的界，该方法实现了高效的传递闭包和可达性索引，构造时间为 O(kc × |Ered|)，空间复杂度为 O(kc × |V|)，支持常数时间的可达性查询，并在稠密图上优于传统方法。

ABSTRACT

We present practical linear and almost linear-time algorithms to compute a chain decomposition of a directed acyclic graph (DAG), $G=(V,E)$. The number of vertex-disjoint chains computed is very close to the minimum. The time complexity of our algorithm is $O(|E|+c*l)$, where $c$ is the number of path concatenations and $l$ is the length of a longest path of the graph. We give a comprehensive explanation on factors $c$ and $l$ in the following sections. Our techniques have important applications in many areas, including the design of faster practical transitive closure algorithms. We observe that $|E_{red}|\leq width*|V|$ ($E_{red}$: non-transitive edges) and show how to find a substantially large subset of $E_{tr}$ (transitive edges) using a chain decomposition in linear time, without calculating the transitive closure. Our extensive experimental results show the interplay between the width, $E_{red}$, $E_{tr}$ in various models of graphs. We show how to compute a reachability indexing scheme in $O(k_c*|E_{red}|)$ time, where $k_c$ is the number of chains and $|E_{red}|$ is the number of non-transitive edges. This scheme can answer reachabilitiy queries in constant time. The space complexity of the scheme is $O(k_c*|V|)$. The experimental results reveal that our methods are even better in practice than the theoretical bounds imply, indicating how fast chain decomposition algorithms can be applied to the transitive closure problem.

研究动机与目标

• 开发一种实用的、线性时间的DAG链分解算法，以非常接近最小链数的方式近似最优解。
• 通过利用DAG的结构特性，降低传递闭包和可达性索引的时间与空间复杂度。
• 证明在现实世界DAG中，大多数边是传递的，从而支持高效的预处理和动态更新。
• 设计一种可达性索引方案，支持O(1)查询时间，且构造开销较低。

提出的方法

• 提出一种贪心的、基于启发式的链分解算法，时间复杂度为 O(|E| + c × l)，其中 c 为路径拼接次数，l 为最长路径长度。
• 利用路径拼接合并链，减少链的数量，提升索引效率。
• 建立 |Ered| ≤ width × |V| 的界，其中 Ered 为非传递边的集合，从而实现高效的传递边检测。
• 采用一种可达性索引方案，隐式存储传递闭包，构造时间为 O(kc × |Ered|)，空间复杂度为 O(kc × |V|)，其中 kc 为链的数量。
• 利用观察结果：在稠密DAG中，传递边占主导地位（通常超过85%），从而支持线性时间预处理，以识别 Etr（传递边）的大部分子集。
• 在随机图模型（ER、BA 等）上进行实验评估，以验证在不同密度和规模下的性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用简单启发式方法，在线性或近乎线性时间内计算出DAG的近似最优链分解？
• RQ2 非传递边的数量（|Ered|）如何随图的宽度和密度变化？
• RQ3 能否在 O(kc × |Ered|) 时间内构建一种可达性索引方案，使其支持 O(1) 查询时间？
• RQ4 在稠密随机DAG中，传递边的比例（|Etr|/|E|）如何变化？
• RQ5 链分解在实际中能在多大程度上提升传递闭包算法的性能？

主要发现

• 所提出的链分解算法运行时间为线性时间，生成的链数非常接近DAG的理论最小宽度。
• 非传递边的数量 |Ered| 受宽度 × |V| 的界约束，从而支持线性时间识别传递边。
• 对于稠密图（平均度 >20），超过85%的边是传递的，某些模型中传递性甚至超过95%。
• 可达性索引方案实现了常数时间的查询响应，空间复杂度为 O(kc × |V|)，构造时间为 O(kc × |Ered|)。
• 随着图密度增加，索引方案的运行时间保持平稳，而基于DFS的传统传递闭包运行时间随平均度线性增长。
• 实验结果表明，该方法在实际中表现优于理论预期，尤其在大规模稠密DAG上表现更优。