[论文解读] Fast-slow systems with Bogdanov-Takens type fold points

Hayato Chiba|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2008

Quantum chaos and dynamical systems被引用 1

一句话总结

本文利用几何奇异摄动理论和爆破法，在快慢系统中证明了存在稳定周期轨道和混沌不变集，这些系统在快子系统中具有 Bogdanov-Takens 分岔点。一个关键结果是：在折叠点附近，慢流形通过爆破空间沿第一 Painlevé 方程的 Boutroux 三三等分解（tritronquée）解延伸。

ABSTRACT

The existence of stable periodic orbits and chaotic invariant sets of singularly perturbed problems of fast-slow type having Bogdanov-Takens bifurcation points in its fast subsystem is proved by means of the geometric singular perturbation method and the blow-up method. In particular, the blow-up method is effectively used for analyzing the flow near the Bogdanov-Takens type fold point in order to show that a slow manifold near the fold point is extended along the Boutroux's tritronquee solution of the first Painleve equation in the blow-up space.

研究动机与目标

• 分析奇异摄动快慢系统中 Bogdanov-Takens 型折叠点附近的动力学行为。
• 在这些系统中建立稳定周期轨道与混沌不变集存在的证明。
• 利用先进的几何技术将折叠点附近的慢流形延伸至爆破空间。
• 将折叠点附近的动力学行为与第一 Painlevé 方程的三三等分解解联系起来。

提出的方法

• 应用几何奇异摄动理论分析快慢系统中的慢流形。
• 使用爆破法解析 Bogdanov-Takens 折叠点处的奇点。
• 将系统变换至爆破坐标系，以研究临界流形附近的流动。
• 利用渐近方法分析爆破空间中扩展的慢流形。
• 识别出慢流形沿第一 Painlevé 方程的 Boutroux 三三等分解解的延续。
• 结合动力系统技术与特殊函数解，描述局部流动结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有快子系统中 Bogdanov-Takens 分岔点的快慢系统在折叠点附近如何表现？
• RQ2 在奇异摄动系统中，Bogdanov-Takens 型折叠点附近的慢流形具有何种结构？
• RQ3 爆破法是否可用于在这些系统中将慢流形延伸过折叠点？
• RQ4 第一 Painlevé 方程的三三等分解解与折叠点附近的动力学有何关联？
• RQ5 在这些系统中可能涌现出何种类型的不变集——周期的还是混沌的？

主要发现

• 在快子系统中具有 Bogdanov-Takens 折叠点的快慢系统中，存在稳定周期轨道。
• 在相同类别的系统中，混沌不变集被证明存在。
• 通过爆破法，折叠点附近的慢流形被延伸至爆破空间。
• 慢流形的延伸遵循第一 Painlevé 方程的 Boutroux 三三等分解解。
• 爆破法成功解析了 Bogdanov-Takens 折叠点处的奇点，使得流动的详细分析成为可能。
• 通过几何变换，折叠点附近的动力学被解析地与第一 Painlevé 方程的特殊解联系起来。