[论文解读] Fast Synchronization of Random Automata

Cyril Nicaud|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2014

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文证明了以高概率，一个随机的完全确定性 $n$-状态自动机存在长度小于 $n^{1+\nu}$ 的同步词，对 Cerny 猜想提供了概率意义上的支持。证明采用基于随机词迭代缩小状态集与概率鸽巢原理的构造性概率方法，避免了对自动机复杂结构的分析。

ABSTRACT

A synchronizing word for an automaton is a word that brings that automaton into one and the same state, regardless of the starting position. Cerny conjectured in 1964 that if a n-state deterministic automaton has a synchronizing word, then it has a synchronizing word of size at most (n-1)^2. Berlinkov recently made a breakthrough in the probabilistic analysis of synchronization by proving that with high probability, an automaton has a synchronizing word. In this article, we prove that with high probability an automaton admits a synchronizing word of length smaller than n^(1+ε), and therefore that the Cerny conjecture holds with high probability.

研究动机与目标

• 研究随机 $n$-状态自动机是否很可能拥有较短的同步词，解决 Cerny 猜想的概率版本。
• 建立以高概率，随机自动机存在长度为 $n^{1+\epsilon}$ 的同步词（对任意 $\epsilon > 0$）。
• 提供一种新的、与 Berlinkov 基于稳定对与树结构的方法不同的概率性同步证明方法。
• 提供一种构造性、算法化的途径，通过迭代状态集缩减来寻找短同步词。

提出的方法

• 构造一个长度为 $\lambda_n = n^{1/2 + \epsilon}$ 的词 $w_n$，通过随机转移和概率鸽巢原理将状态集映射到一个小的像集。
• 应用第二个词 $b^j$ 进一部缩小像集，利用 $b$-转移可将多个状态合并为更少状态的特性。
• 使用递归过程迭代缩小状态对，通过集中不等式和并集界来控制失败概率。
• 对每一步进行失败概率分析，表明使一对状态无法同步的概率至多为 $O(n^{-3/8 + 5\epsilon})$。
• 通过所有像集中配对的并集界组合结果，表明当 $n \to \infty$ 时，总失败概率趋于零。
• 应用引理 1 将同步词的总长度界为 $O(n^{1+11\epsilon})$，通过重新参数化 $\epsilon$ 调整为 $n^{1+\epsilon}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机 $n$-状态自动机是否以高概率拥有长度为 $n^{1+\epsilon}$ 的同步词？
• RQ2 Cernuv 猜想能否在大多数自动机上以概率方式得到支持？
• RQ3 是否存在一种构造性、概率性的方法来寻找短同步词，而无需依赖深层结构分析？
• RQ4 随机自动机中最短同步词的长度如何变化，能否将其控制在 $n^{1+\epsilon}$ 以下？

主要发现

• 以高概率，随机 $n$-状态自动机存在长度小于 $n^{1+\epsilon}$ 的同步词（对任意 $\epsilon > 0$）。
• 随机自动机不具有此类同步词的概率随着 $n \to \infty$ 而趋于零，具体界为 $O(n^{-1/8 + 13\epsilon})$。
• 该构造生成的同步词长度渐近等价于 $n^{1+11\epsilon}$，通过重新定义 $\epsilon$ 可调整为 $n^{1+\epsilon}$。
• 该方法相较于 Berlinkov 基于稳定对与树结构的方法，提供了更简单、新颖的随机自动机同步性证明。
• 对像集中任意一对状态的同步失败概率每步至多为 $5n^{-3/8 + 5\epsilon}$，总失败概率可忽略不计。
• 该方法暗示了一种实用的概率算法，可用于搜索短同步词，实验结果表明其性能优于理论界限。