[论文解读] Faster 0-1-Knapsack via Near-Convex Min-Plus-Convolution

Karl Bringmann, Alejandro Cassis|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Optimization and Search Problems被引用 5

一句话总结

本文通过引入一种新颖的近凸 min-plus 卷积算法，提出了 0-1-Knapsack 问题的更快伪多项式时间算法。作者实现了改进的时间复杂度 $\tilde{O}(n w_{\text{max}} p_{\text{max}}^{2/3})$ 和 $\tilde{O}(n p_{\text{max}} w_{\text{max}}^{2/3})$，在 $p_{\text{max}} \approx w_{\text{max}} \approx n$ 的情形下打破了立方级 $n^3$ 的瓶颈。核心创新在于一种运行时间为 $\tilde{O}((n+m)\Delta)$ 的近凸 min-plus 卷积算法，该算法取代了复杂的预测技术，从而实现了更快的 Knapsack 求解。

ABSTRACT

We revisit the classic 0-1-Knapsack problem, in which we are given $n$ items with their weights and profits as well as a weight budget $W$, and the goal is to find a subset of items of total weight at most $W$ that maximizes the total profit. We study pseudopolynomial-time algorithms parameterized by the largest profit of any item $p_{\max}$, and the largest weight of any item $w_{\max}$. Our main result are algorithms for 0-1-Knapsack running in time $ ilde{O}(n\,w_\max\,p_\max^{2/3})$ and $ ilde{O}(n\,p_\max\,w_\max^{2/3})$, improving upon an algorithm in time $O(n\,p_\max\,w_\max)$ by Pisinger [J. Algorithms '99]. In the regime $p_\max \approx w_\max \approx n$ (and $W \approx \mathrm{OPT} \approx n^2$) our algorithms are the first to break the cubic barrier $n^3$. To obtain our result, we give an efficient algorithm to compute the min-plus convolution of near-convex functions. More precisely, we say that a function $f \colon [n] \mapsto \mathbf{Z}$ is $Δ$-near convex with $Δ\geq 1$, if there is a convex function $\breve{f}$ such that $\breve{f}(i) \leq f(i) \leq \breve{f}(i) + Δ$ for every $i$. We design an algorithm computing the min-plus convolution of two $Δ$-near convex functions in time $ ilde{O}(nΔ)$. This tool can replace the usage of the prediction technique of Bateni, Hajiaghayi, Seddighin and Stein [STOC '18] in all applications we are aware of, and we believe it has wider applicability.

研究动机与目标

• 在 $p_{\text{max}} \approx w_{\text{max}} \approx n$ 的情形下，打破 0-1-Knapsack 伪多项式时间算法的立方级 $n^3$ 瓶颈。
• 设计一种新型、高效的 min-plus 卷积算法，用于 $\Delta$-近凸函数，该算法推广并取代了 Bateni 等人的预测技术。
• 为动态规划和细粒度复杂性中的结构化 min-plus 卷积问题提供一种更简单、更广泛适用的工具。
• 通过利用底层动态规划状态转移中的近凸性，改进 0-1-Knapsack 的当前最优运行时间。

提出的方法

• 引入 $\Delta$-近凸函数的概念：即有界于某个凸函数 $\Delta$ 以内的函数。
• 设计一种递归算法，将定义域划分为不相交的二进制盒子，仅关注 min-plus 卷积非平凡的区域。
• 利用凸近似 $\hat{f}, \hat{g}$ 识别出一个结构化区域 $R_{2\Delta}$，其中真实 min-plus 卷积极有可能发生。
• 利用 $R_{2\Delta}$ 内的近线性性质：函数表现得如同具有 $O(\Delta)$ 误差的线性函数，从而保证和集大小较小。
• 应用推论 21，以每单位边长为 $s$ 的盒子 $\tilde{O}(\Delta s)$ 的时间高效计算小和集，从而实现 $\tilde{h}$ 的快速计算。
• 将递归成本分配给父盒子，并利用几何级数对所有层级的总时间进行界控，最终得到 $\tilde{O}((n+m)\Delta)$ 的总体时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p_{\text{max}}$ 和 $w_{\text{max}}$ 相对于 $n$ 较小时，能否设计出更快的 0-1-Knapsack 算法？
• RQ2 是否存在一种通用工具，用于结构化 min-plus 卷积，以避免 Bateni 等人所用的复杂预测技术？
• RQ3 能否利用动态规划状态中的近凸性，实现优于标准 $O(n p_{\text{max}} w_{\text{max}})$ 边界的速度？
• RQ4 对于 $\Delta$-近凸函数的 min-plus 卷积，最优时间复杂度是多少？能否高效实现？

主要发现

• 本文提出了一种 0-1-Knapsack 的随机化算法，其时间复杂度为 $\tilde{O}(n w_{\text{max}} p_{\text{max}}^{2/3})$，优于 Pisinger 的 $O(n p_{\text{max}} w_{\text{max}})$ 边界。
• 一种对称算法实现了 $\tilde{O}(n p_{\text{max}} w_{\text{max}}^{2/3})$ 的时间复杂度，提供了双参数优化。
• 作者提出了一种用于 $\Delta$-近凸函数 min-plus 卷积的新算法，其时间复杂度为 $\tilde{O}((n+m)\Delta)$。
• 该新算法在所有已知应用中取代了 Bateni 等人的预测技术，且更易于表述和应用。
• 该方法在 $p_{\text{max}} \approx w_{\text{max}} \approx n$ 的情形下打破了 $n^3$ 的瓶颈，实现了亚立方级性能。
• 关键洞见在于：近凸函数表现得如同具有 $O(\Delta)$ 误差的线性函数，从而导致和集较小，可被高效计算。