[论文解读] Faster 3-Coloring of Small-Diameter Graphs

Michał Dębski, Marta Piecyk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对直径为2的n个顶点图的3-颜色问题的新算法，时间复杂度为2^O(n^{1/3} log² n)，优于此前最优的2^O(√n log n)复杂度。该方法结合了通过概率方法推导出的关于3-可图直径-2图的组合洞察，以及标准的分支搜索与2-SAT约简技术，首次在无额外约束的一般情况下实现了亚指数时间的改进。

ABSTRACT

We study the 3-Coloring problem in graphs with small diameter. In 2013, Mertzios and Spirakis showed that for n-vertex diameter-2 graphs this problem can be solved in subexponential time 2^{𝒪(√{n log n})}. Whether the problem can be solved in polynomial time remains a well-known open question in the area of algorithmic graphs theory. In this paper we present an algorithm that solves 3-Coloring in n-vertex diameter-2 graphs in time 2^{𝒪(n^{1/3} log² n)}. This is the first improvement upon the algorithm of Mertzios and Spirakis in the general case, i.e., without putting any further restrictions on the instance graph. In addition to standard branchings and reducing the problem to an instance of 2-Sat, the crucial building block of our algorithm is a combinatorial observation about 3-colorable diameter-2 graphs, which is proven using a probabilistic argument. As a side result, we show that 3-Coloring can be solved in time 2^{𝒪((n log n)^{2/3})} in n-vertex diameter-3 graphs. We also generalize our algorithms to the problem of finding a list homomorphism from a small-diameter graph to a cycle.

研究动机与目标

• 为3-颜色问题在小直径图中的最佳已知亚指数算法与潜在的多项式时间解法之间填补差距。
• 解决长期悬而未决的开放问题：直径为2的图的3-颜色问题是否可在多项式时间内求解。
• 将算法技术扩展至直径为3的图，并推广至更一般的列表同态问题。
• 将结果推广至特定目标图H的列表H-颜色问题，特别是带环的环与路径。
• 探索将算法扩展至加权颜色问题的可行性，其中每种颜色分配具有成本。

提出的方法

• 利用通过概率方法证明的新组合观察结果，针对3-可图直径-2图，指导分支策略。
• 采用双赢策略：若图具有小的支配集（通过穷举搜索利用），或其结构特性允许高效列表约简。
• 对支配集S中的顶点执行标准分支，随后对邻居进行列表约简，将列表大小限制在至多2个。
• 将所有列表大小≤2的约简后问题转化为2-SAT问题，可在多项式时间内求解。
• 通过优化支配集选择并利用最小度参数，将核心算法适配至直径为3的图。
• 将框架推广至满足(P1)、(P2)和(P3)的连通图H的列表H-颜色问题，确保列表大小可约简且颜色唯一确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无额外约束条件下，直径为2的图的3-颜色问题是否可实现优于2^O(√n log n)的时间复杂度？
• RQ2 3-可图直径-2图的哪些结构特性可被利用以设计更快速的算法？
• RQ3 该算法框架是否可扩展至直径为3的图，并获得亚指数时间界？
• RQ4 对于哪些类别的目标图H，小直径图中的列表H-颜色问题可在亚指数时间内求解？
• RQ5 是否可将该算法扩展至加权3-颜色问题，其中每种颜色分配具有成本？

主要发现

• 本文首次提出针对n个顶点直径为2图的3-颜色问题的算法，时间复杂度为2^O(n^{1/3} log² n)，优于此前的2^O(√n log n)复杂度。
• 关键改进源于对3-可图直径-2图的新组合洞察，该洞察通过概率方法证明，从而实现了更高效的支配集选择。
• 对于直径为3的图，该算法的时间复杂度为2^O((n log n)^{2/3})，为该类图建立了亚指数时间界。
• 该框架可推广至满足(P1)、(P2)和(P3)的连通图H的列表H-颜色问题，运行时间取决于H的结构。
• 对于H ∈{C₃, C₅}，直径为2图的列表H-颜色问题可在2^O(n^{1/3} log² n)时间内求解；对于H = P₃*，时间界为2^O(n^{1/2} log^{1/2} n)。
• 对于直径为3的图及H ∈{C₃, C₅, C₆, C₇, P₃*, P₄*}，问题可在2^O(n^{2/3} log^{2/3} n)时间内求解，当H不属于该族时，问题可在多项式时间内求解。