[论文解读] Faster Algorithms for Integer Programs with Block Structure

Friedrich Eisenbrand, Christoph Hunkenschröder+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Optimization and Search Problems被引用 17

一句话总结

本文通过引入基于Steinitz引理的Graver基元素新ℓ1-范数界，提出了具有块结构的整数规划问题的更快算法，包括广义n-fold和tree-fold IP。关键结果是运行时间为 $ n^2 t^2 \rho \cdot (rs\Delta)^{O(rs^2 + sr^2)} $，优于先前的 $ n^3 t^3 \rho \cdot \Delta^{O(t^2 s)} $ 绑定，且不随列数 $ t $ 指数增长。

ABSTRACT

We consider integer programming problems max {c^Tx : A x = b, l <= x <= u, x in Z^{nt}} where A has a (recursive) block-structure generalizing n-fold integer programs which recently received considerable attention in the literature. An n-fold IP is an integer program where A consists of n repetitions of submatrices A in Z^{r × t} on the top horizontal part and n repetitions of a matrix B in Z^{s × t} on the diagonal below the top part. Instead of allowing only two types of block matrices, one for the horizontal line and one for the diagonal, we generalize the n-fold setting to allow for arbitrary matrices in every block. We show that such an integer program can be solved in time n^2t^2 phi x (r s delta)^{O(rs^2+ sr^2)} (ignoring logarithmic factors). Here delta is an upper bound on the largest absolute value of an entry of A and phi is the largest binary encoding length of a coefficient of c. This improves upon the previously best algorithm of Hemmecke, Onn and Romanchuk that runs in time n^3t^3 phi x delta^{O(st(r+t))}. In particular, our algorithm is not exponential in the number t of columns of A and B. Our algorithm is based on a new upper bound on the l_1-norm of an element of the Graver basis of an integer matrix and on a proximity bound between the LP and IP optimal solutions tailored for IPs with block structure. These new bounds rely on the Steinitz Lemma. Furthermore, we extend our techniques to the recently introduced tree-fold IPs, where we again present a more efficient algorithm in a generalized setting.

研究动机与目标

• 开发适用于具有递归块结构的整数规划问题的更快算法，推广n-fold和tree-fold IP。
• 克服先前算法中对列数 $ t $ 的指数依赖。
• 为块结构矩阵的Graver基元素建立更紧的ℓ1-范数界。
• 利用针对块结构定制的LP与IP解之间的接近性界，实现高效增广。

提出的方法

• 通过Steinitz引理推导Graver基元素ℓ1-范数的新上界，得到 $ (2m\Delta + 1)^m $，该界与列数 $ n $ 无关。
• 应用该界设计块结构IP的高效增广算法，通过新范数界限制搜索空间。
• 利用LP与IP最优解之间的接近性结果，证明 $ \|x^* - z^*\|_1 \leq nL_\tau $，以减少增广步数。
• 构建一个动态规划图，其中每一层对应一列，每层大小受 $ (2\Delta L_\tau + 1)^\sigma $ 限制，$ \sigma $ 为各层行数总和。
• 利用广义块结构将环分解为子矩阵Graver基元素，并通过Steinitz序列重排以保持有界的部分和。
• 通过递归绑定子树块矩阵的Graver基元素，并使用相同的Steinitz分解方法组合，将该方法递归应用于tree-fold IP。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在块结构整数规划中，将Graver基元素的ℓ1-范数界独立于列数 $ n $ 进行界定？
• RQ2 块结构IP的LP松弛解与整数最优解之间，最紧的接近性界是什么？
• RQ3 能否使块结构IP增广算法的运行时间关于列数 $ t $ 为多项式时间，而非指数时间？
• RQ4 Steinitz引理如何应用于推导递归块结构中Graver基元素的新界？
• RQ5 n-fold IP的技术能否推广至tree-fold及更一般的块结构IP，并实现更高的效率？

主要发现

• 任意块结构矩阵 $ A \in \mathbb{Z}^{m \times n} $ 的Graver基元素的ℓ1-范数被界为 $ (2m\Delta + 1)^m $，且与 $ n $ 无关，其中 $ \Delta $ 为 $ A $ 中绝对值的最大元素。
• 对于具有 $ n $ 个块的广义n-fold IP，算法运行时间为 $ n^2 t^2 \rho \cdot (rs\Delta)^{O(rs^2 + sr^2)} $，优于先前的 $ n^3 t^3 \rho \cdot \Delta^{O(t^2 s)} $。
• LP与IP最优解之间的接近性界为 $ \|x^* - z^*\|_1 \leq nL_\tau $，其中 $ L_\tau $ 为tree-fold结构中Graver基元素的界。
• 对于tree-fold IP，算法运行时间为 $ n^2 \rho \log^2 n \cdot (s\Delta)^{O(\sigma s)} + \text{LP} $，其中 $ \sigma $ 为各层行数之和，$ s $ 为各层大小的乘积。
• 新Graver基元素界使得在显著更小的搜索空间上进行动态规划成为可能，从而减少增广步数并提升整体效率。
• 该方法通过递归绑定Graver基元素并使用基于Steinitz的环分量重排，可推广至任意递归块结构，包括tree-fold IP。