[论文解读] Faster all-pairs shortest paths via circuit complexity

Ryan Williams|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 46被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于稠密图中全源最短路径（APSP）问题的新随机化算法，通过利用电路复杂度技术——特别是Razborov-Smolensky多项式，将min-plus矩阵乘积转化为通过Coppersmith算法实现的高效布尔矩阵乘法，实现了$ n^3 / 2^{ ext{poly}( ext{log } n)^{1/2}} $的运行时间。该结果打破了长期以来$ n^3 / ext{poly}( ext{log } n) $的运行时间障碍，适用于一般APSP问题。

ABSTRACT

We present a new randomized method for computing the min-plus product (a.k.a., tropical product) of two $n imes n$ matrices, yielding a faster algorithm for solving the all-pairs shortest path problem (APSP) in dense $n$-node directed graphs with arbitrary edge weights. On the real RAM, where additions and comparisons of reals are unit cost (but all other operations have typical logarithmic cost), the algorithm runs in time \[\frac{n^3}{2^{Ω(\log n)^{1/2}}}\] and is correct with high probability. On the word RAM, the algorithm runs in $n^3/2^{Ω(\log n)^{1/2}} + n^{2+o(1)}\log M$ time for edge weights in $([0,M] \cap {\mathbb Z})\cup\{\infty\}$. Prior algorithms used either $n^3/(\log^c n)$ time for various $c \leq 2$, or $O(M^αn^β)$ time for various $α> 0$ and $β> 2$. The new algorithm applies a tool from circuit complexity, namely the Razborov-Smolensky polynomials for approximately representing ${\sf AC}^0[p]$ circuits, to efficiently reduce a matrix product over the $(\min,+)$ algebra to a relatively small number of rectangular matrix products over ${\mathbb F}_2$, each of which are computable using a particularly efficient method due to Coppersmith. We also give a deterministic version of the algorithm running in $n^3/2^{\log^δ n}$ time for some $δ> 0$, which utilizes the Yao-Beigel-Tarui translation of ${\sf AC}^0[m]$ circuits into "nice" depth-two circuits.

研究动机与目标

• 为克服在具有任意边权的稠密图中全源最短路径（APSP）问题上长期存在的$ n^3 / ext{poly}( ext{log } n) $运行时间障碍。
• 探索是否可以利用电路复杂度技术，特别是针对$ ext{AC}^0[p] $电路的技术，来加速min-plus矩阵乘法——这是APSP的核心。
• 证明$ ( ext{min}, +) $矩阵乘积可以通过减少到少量结构化的布尔矩阵乘积，实现优于$ O(n^3) $的计算速度。
• 提供一种确定性变体算法，其运行时间为$ n^3 / 2^{ ext{log}^eta n} $（$ eta > 0 $），利用Yao-Beigel-Tarui电路转换方法。
• 通过引入电路复杂度与矩阵乘积算法之间全新的联系，挑战当前技术下$ o(n^3) $ APSP算法不可能存在的普遍猜想。

提出的方法

• 使用Razborov-Smolensky多项式近似表示计算$ ( ext{min}, +) $内积的$ ext{AC}^0[2] $电路。
• 将$ n imes n $的min-plus矩阵乘积减少为$ ilde{O}(n) $个在$ ext{GF}(2) $上的矩形矩阵乘积，每个大小为$ n imes d $，其中$ d = 2^{ ext{poly}( ext{log } n)} $。
• 应用Coppersmith针对在$ ext{GF}(2) $上乘法$ n imes d $与$ d imes n $矩阵的高效算法，该算法在$ d $较小时运行时间为$ n^{2+o(1)} $。
• 采用一种随机化归约策略，通过利用$ ext{AC}^0[2] $电路的多项式近似，确保高概率下结果正确。
• 对于确定性版本，使用Yao-Beigel-Tarui方法将$ ext{AC}^0[m] $电路转换为两层电路，从而实现较慢但保证的亚立方时间复杂度。
• 结合电路到多项式的转换与仔细的误差控制机制，确保在归约过程中min-plus乘积得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以利用电路复杂度技术实现全源最短路径问题的真正亚立方时间？
• RQ2 是否可以将$ ( ext{min}, +) $矩阵乘积减少为可更快计算的少量结构化布尔矩阵乘积？
• RQ3 是否可以利用代数与电路理论的洞见，打破一般APSP问题中$ n^3 / ext{poly}( ext{log } n) $的运行时间障碍？
• RQ4 $ ( ext{min}, +) $内积是否比传统的动态规划或查表法具有更高效的表示方式？
• RQ5 是否$ ext{AC}^0[2] $电路与min-plus乘积之间的联系，能为APSP难问题类中的其他问题带来更快速的算法？

主要发现

• 本文提出了一种在真实RAM模型上运行时间为$ n^3 / 2^{ ext{poly}( ext{log } n)^{1/2}} $的随机化APSP算法，且具有高概率正确性。
• 在边权为$[0, M]$整数的word RAM上，该算法的运行时间为$ n^3 / 2^{ ext{poly}( ext{log } n)^{1/2}} + n^{2+o(1)} ext{log } M $。
• 该算法将min-plus乘积减少为$ ilde{O}(n) $个在$ ext{GF}(2) $上的矩形矩阵乘积，每个大小为$ n imes d $，其中$ d = 2^{ ext{poly}( ext{log } n)} $。
• 使用Coppersmith算法在$ n^{2+o(1)} $时间内计算每个$ n imes d $与$ d imes n $布尔矩阵乘积，从而实现整体加速。
• 该工作的确定性变体在$ n^3 / 2^{ ext{log}^eta n} $时间内运行（$ eta > 0 $），利用Yao-Beigel-Tarui对$ ext{AC}^0[m] $电路的转换。
• 本研究建立了电路复杂度与矩阵乘积算法之间新的联系，表明$ ( ext{min}, +) $矩阵乘法可能本质上比整数矩阵乘法更简单。