[论文解读] Faster classical Boson Sampling

Peter Clifford, Raphaël Clifford|Bristol Research (University of Bristol)|May 7, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 7

一句话总结

本文提出了一种经典的玻色采样算法，通过利用随机矩阵中行重数分布的特性，显著提升了平均情况下的性能。通过结合多重集重数的概率分析与高效的永久子式计算，该算法在 $ m = n $ 时实现了约 $ O(n \cdot 1.69^n) $ 的平均情况时间复杂度，大幅降低了展示量子优越性所需的问题规模。

ABSTRACT

Since its introduction Boson Sampling has been the subject of intense study in the world of quantum computing. The task is to sample independently from the set of all $n imes n$ submatrices built from possibly repeated rows of a larger $m imes n$ complex matrix according to a probability distribution related to the permanents of the submatrices. Experimental systems exploiting quantum photonic effects can in principle perform the task at great speed. In the framework of classical computing, Aaronson and Arkhipov (2011) showed that exact Boson Sampling problem cannot be solved in polynomial time unless the polynomial hierarchy collapses to the third level. Indeed for a number of years the fastest known exact classical algorithm ran in $O({m+n-1 \choose n} n 2^n )$ time per sample, emphasising the potential speed advantage of quantum computation. The advantage was reduced by Clifford and Clifford (2018) who gave a significantly faster classical solution taking $O(n 2^n + \operatorname{poly}(m,n))$ time and linear space, matching the complexity of computing the permanent of a single matrix when $m$ is polynomial in $n$. We continue by presenting an algorithm for Boson Sampling whose average-case time complexity is much faster when $m$ is proportional to $n$. In particular, when $m = n$ our algorithm runs in approximately $O(n\cdot1.69^n)$ time on average. This result further increases the problem size needed to establish quantum computational supremacy via Boson Sampling.

研究动机与目标

• 为降低在当前实验中常见的 $ m \approx n $ 范围内模拟玻色采样的经典计算成本。
• 通过改进精确玻色采样算法的平均情况时间复杂度，缩小理论量子优势与实际经典模拟之间的差距。
• 通过玻色采样建立量子计算优越性的最小问题规模提供更紧的上界。
• 分析在随机矩阵中对行选择的多重集重数数组进行均匀分布时，永久子式计算的期望时间复杂度。

提出的方法

• 采用一种概率模型，其中所选行的重数数组 $ \mathbf{s}^{(n)} $ 在 $ \Phi_{m,n}^* $ 上均匀分布，即所有将 $ n $ 分解为 $ m $ 个部分的整数组合集合。
• 应用引理2计算乘积 $ \prod_{\nu=1}^m (s_\nu^{(n)} + 1) $ 的期望值，该值界定了算法中永久子式计算的时间复杂度。
• 通过推论3推导出在 $ k \times k $ 子矩阵上永久子式计算的期望时间复杂度，利用恒等式 $ \mathbb{E}\left[\prod (s_\nu^{(k)} + 1)\right] = \binom{m+k-1}{k}^{-1} \binom{2m+k-1}{k} $。
• 将每个步骤 $ k \in [n] $ 的永久子式计算期望时间组合为总期望时间复杂度，通过求和与渐近分析推导得出。
• 应用斯特林公式对 $ m = \theta n $ 时的期望时间复杂度表达式进行渐近简化，得出闭式指数增长率。
• 利用定理5将完整玻色采样算法的平均情况时间复杂度界为 $ \mathcal{O}\left( \frac{n(m+n)}{m} \binom{m+n}{n+1}^{-1} \binom{2m+n}{n+1} + n^2 m \right) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当输出模式数 $ m $ 与光子数 $ n $ 成比例时，经典玻色采样的平均情况时间复杂度是多少？
• RQ2 期望的唯一行选择数量如何影响玻色采样中永久子式计算的计算成本？
• RQ3 通过利用行重数分布的结构，能否显著改进经典玻色采样在最坏情况 $ \mathcal{O}(n 2^n) $ 边界下的平均情况性能？
• RQ4 当 $ m = n $ 时，期望时间复杂度的渐近增长速率是多少？与先前的经典算法相比如何？
• RQ5 期望乘积 $ \prod_{\nu=1}^m (s_\nu^{(n)} + 1) $ 在多大程度上影响经典玻色采样算法的性能？

主要发现

• 当 $ m = n $ 时，所提算法的平均情况时间复杂度约为 $ O(n \cdot 1.69^n) $，相比先前的 $ O(n 2^n) $ 最坏情况边界有显著改进。
• 当 $ m = n $ 时，$ \prod_{\nu=1}^m (s_\nu^{(n)} + 1) $ 的期望值以 $ \sim 1.15 \cdot (1.69)^n $ 的速率增长，这直接决定了永久子式计算的平均情况成本。
• 当 $ m = \theta n $ 时，渐近时间复杂度为 $ \mathcal{O}\left( n \left[ \frac{(2\theta+1)^{2\theta+1}}{(4\theta)^\theta (\theta+1)^{\theta+1}} \right]^n \right) $，当 $ \theta = 1 $ 时简化为 $ O(n \cdot 1.69^n) $。
• 该算法的平均情况复杂度源于唯一行选择的期望数量以及多重集组合的结构，结合组合恒等式与斯特林公式推导得出。
• 结果表明，通过玻色采样展示量子计算优越性所需的问题规模必须大于先前估计，因为经典模拟在比预期更大的 $ n $ 下仍可行。
• 分析表明，对 $ k \times k $ 子矩阵计算永久子式的期望时间复杂度为 $ \mathcal{O}\left( k \cdot \binom{m+k-1}{k}^{-1} \binom{2m+k-1}{k} \right) $，该结果用于界定了总期望时间。