[论文解读] Faster Distributed Shortest Path Approximations via Shortcuts

Bernhard Haeupler, Jason Li|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文提出了首个基于低拥塞简化的分布式最短路径近似算法，通过自适应网络拓扑结构实现近似最优的 O~(Q) 运行时间，其中 Q 为简化的质量。通过引入可调参数 β，算法在 O~(Q) 轮内实现任意好的多项式近似，在 O~(Q·n^ε) 轮内实现对数多对数近似，显著优于非病态拓扑（如平面图或有界亏格图）上的 Ω~(√n + D) 下界。

ABSTRACT

A long series of recent results and breakthroughs have led to faster and better distributed approximation algorithms for single source shortest paths (SSSP) and related problems in the CONGEST model. The runtime of all these algorithms, however, is Omega~(sqrt{n}), regardless of the network topology, even on nice networks with a (poly)logarithmic network diameter D. While this is known to be necessary for some pathological networks, most topologies of interest are arguably not of this type. We give the first distributed approximation algorithms for shortest paths problems that adjust to the topology they are run on, thus achieving significantly faster running times on many topologies of interest. The running time of our algorithms depends on and is close to Q, where Q is the quality of the best shortcut that exists for the given topology. While Q = Theta~(sqrt{n} + D) for pathological worst-case topologies, many topologies of interest have Q = Theta~(D), which results in near instance optimal running times for our algorithm, given the trivial Omega(D) lower bound. The problems we consider are as follows: - an approximate shortest path tree and SSSP distances, - a polylogarithmic size distance label for every node such that from the labels of any two nodes alone one can determine their distance (approximately), and - an (approximately) optimal flow for the transshipment problem. Our algorithms have a tunable tradeoff between running time and approximation ratio. Our fastest algorithms have an arbitrarily good polynomial approximation guarantee and an essentially optimal O~(Q) running time. On the other end of the spectrum, we achieve polylogarithmic approximations in O~(Q * n^epsilon) rounds for any epsilon > 0. It seems likely that eventually, our non-trivial approximation algorithms for the SSSP tree and transshipment problem can be bootstrapped to give fast Q * 2^O(sqrt{log n log log n}) round (1+epsilon)-approximation algorithms using a recent result by Becker et al.

研究动机与目标

• 克服非病态拓扑下分布式 SSSP 算法的 Ω~(√n + D) 运行时间下界。
• 设计适应网络简化质量 Q 的 SSSP、距离标签和转运流的近似算法。
• 在保持可调近似比的同时，实现近似最优的运行时间 O~(Q)。
• 证明基于简化的算法在低简化质量的拓扑（如平面图或有界亏格图）上可超越传统方法。

提出的方法

• 利用低拥塞简化框架，通过简化质量 Q 建模 CONGEST 模型中的通信复杂度。
• 提出一种随机化算法 ExpectedSPForest，通过半径参数 R 的分层聚类构建近似最短路径森林。
• 采用递归聚类与合并过程，结合多轮采样，确保节点对的高概率覆盖。
• 将简化框架应用于距离标签，通过基于聚类 ID 和半径的节点标签，仅凭标签即可支持近似距离查询。
• 利用聚合子树计算在有根树中计算流需求，实现高效的转运流近似。
• 通过重复执行 ExpectedTS 并结合马尔可夫不等式，实现转运流近似保证的高概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非病态拓扑上，分布式最短路径近似算法能否实现低于 Ω~(√n + D) 的运行时间？
• RQ2 简化质量 Q 与分布式最短路径算法实际性能之间有何关系？
• RQ3 具有对数多对数标签大小的距离标签方案能否仅凭本地信息支持近似距离查询？
• RQ4 能否在 CONGEST 模型中利用基于简化的技术高效近似转运流？
• RQ5 能否通过梯度下降或乘法权重等先进优化工具将近似比提升至 (1+ε)？

主要发现

• 论文在 SSSP 和距离标签的多项式近似中实现了 O~(Q) 的运行时间，其中 Q 为网络的简化质量。
• 对于任意 ε > 0，多对数近似可在 O~(Q·n^ε) 轮内完成，显著优于 Ω~(√n + D) 的下界。
• 利用 Becker 等人近期结果，转运流和 SSSP 的 (1+ε)-近似可能在 O~(Q·2^O(√(log n log log n))) 轮内实现。
• 算法对转运流和 SSSP 实现了 O~(1/β · n^{O(log log n)/log(1/β)}) 的近似比，运行时间为 O~(1/β · Q)。
• 在 Q = O~(D) 的拓扑（如平面图或有界亏格图）上，算法运行时间为 O~(D)，实现近乎实例最优。
• 该框架支持高效的距离标签，具有对数多对数标签大小，并可仅凭标签实现常数时间的近似距离查询。