[论文解读] Faster Dynamic Matrix Inverse for Faster LPs
本文设计了级联式动态矩阵求逆数据结构，使用多层 Woodbury 恒等式来加速低秩更新，从而实现更快的 interior-point LP 求解器，运行时间接近矩阵乘法时间。
Motivated by recent Linear Programming solvers, we design dynamic data structures for maintaining the inverse of an $n imes n$ real matrix under $ extit{low-rank}$ updates, with polynomially faster amortized running time. Our data structure is based on a recursive application of the Woodbury-Morrison identity for implementing $ extit{cascading}$ low-rank updates, combined with recent sketching technology. Our techniques and amortized analysis of multi-level partial updates, may be of broader interest to dynamic matrix problems. This data structure leads to the fastest known LP solver for general (dense) linear programs, improving the running time of the recent algorithms of (Cohen et al.'19, Lee et al.'19, Brand'20) from $O^*(n^{2+ \max\{\frac{1}{6}, ω-2, \frac{1-α}{2}\}})$ to $O^*(n^{2+\max\{\frac{1}{18}, ω-2, \frac{1-α}{2}\}})$, where $ω$ and $α$ are the fast matrix multiplication exponent and its dual. Hence, under the common belief that $ω\approx 2$ and $α\approx 1$, our LP solver runs in $O^*(n^{2.055})$ time instead of $O^*(n^{2.16})$.
研究动机与目标
- 阐明在快速 LP 求解器及相关应用中对动态逆矩阵维护的需求。
- 开发一个级联的多层更新框架，以加速低秩矩阵更新与查询。
- 利用新颖的势能框架和鞅证明分析摊销性能。
- 展示在标准猜想下，该框架如何将 LP 求解器的时间接近矩阵乘法时间。
- 提供级联惰性更新技术在动态逆矩矩阵上的详细描述和分析。
提出的方法
- 将 Woodbury 恒等式推广到 K>1 层，以实现低秩更新的级联。
- 将更新划分为 K 个时期，阈值逐步收缩，并对 Woodbury 结构矩阵维护 LU 分解。
- 使用级联惰性更新来摊销更新和查询成本，利用 LP 相关向量缓慢变化的性质。
- 结合随机化压缩和草图技术，在投影维护步骤中加速矩阵向量乘法。
- 平衡各层成本，以高概率达到运行时为 n* (n^{ω} + n^{2.5−α/2} + n^{2+1/18}) log(n/δ)。
实验结果
研究问题
- RQ1在低秩更新下，动态逆矩阵维护是否可以超越先前的 O*(n^{2+1/6}) LP 方法？
- RQ2如何实现多级（K 级）级联更新，以在缓慢变化的查询向量存在下高效地维护逆矩矩阵？
- RQ3在矩阵乘法指数 ω及其对偶 α 的标准假设下，可达到的 LP 运行时间是多少？
- RQ4在不实现去随机化的前提下，可以在多大程度上把随机化草绘技术与级联更新结合？
- RQ5所提出的框架在迭代次数和总体运行时间方面对实际 LP 求解器有何影响？
主要发现
- 本文实现了一个 LP 求解器，每个问题的时间为 O*(n^{ω} + n^{2.5−α/2} + n^{2+1/18})，并由精度参数对数放大。
- 在理想情形（ω≈2，α≈1）下，求解器运行大约为 O*(n^{2.055})，优于先前的 O*(n^{2.166}) 基准。
- 采用 K=3 层的级联惰性更新框架在分析下实现了每次迭代大约 n^{2+1/18} 的运行时间。
- 高效维护更新结构矩阵的 LU 分解是实现亚二次摊销成本的关键。
- 整合随机化压缩和草绘技术以降低投影维护成本，同时不影响收敛性保证。
- 该方法通过基于多层 Woodbury 的更新和摊销分析，为超越 LP 的动态矩阵问题提供了一般性技术。
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