[论文解读] Faster Matroid Partition Algorithms

Tatsuya Terao|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本文提出了一种新的拟阵划分算法，将独立性预言机查询复杂度降低至 Õ(k′¹ᐟ³np + kn)，其中 k′ = min{k, p}，优于Cunningham的 O(np³ᐟ² + kn) 上界。关键创新在于边复用增强技术，通过优化的二分查找技术重用先前交换图中的边，实现当 k ≤ n 时的 Õ(n⁷ᐟ³) 查询复杂度，打破了37年来存在的复杂度屏障。

ABSTRACT

In the matroid partitioning problem, we are given $k$ matroids $\mathcal{M}_1 = (V, \mathcal{I}_1), \dots , \mathcal{M}_k = (V, \mathcal{I}_k)$ defined over a common ground set $V$ of $n$ elements, and we need to find a partitionable set $S \subseteq V$ of largest possible cardinality, denoted by $p$. Here, a set $S \subseteq V$ is called partitionable if there exists a partition $(S_1, \dots , S_k)$ of $S$ with $S_i \in \mathcal{I}_i$ for $i = 1, \ldots, k$. In 1986, Cunningham [SICOMP 1986] presented a matroid partition algorithm that uses $O(n p^{3/2} + k n)$ independence oracle queries, which was the previously known best algorithm. This query complexity is $O(n^{5/2})$ when $k \leq n$. Our main result is to present a matroid partition algorithm that uses $ ilde{O}(k'^{1/3} n p + k n)$ independence oracle queries, where $k' = \min\{k, p\}$. This query complexity is $ ilde{O}(n^{7/3})$ when $k \leq n$, and this improves upon the one of previous Cunningham's algorithm. To obtain this, we present a new approach \emph{edge recycling augmentation}, which can be attained through new ideas: an efficient utilization of the binary search technique by Nguyen [2019] and Chakrabarty-Lee-Sidford-Singla-Wong [FOCS 2019] and a careful analysis of the independence oracle query complexity. Our analysis differs significantly from the one for matroid intersection algorithms, because of the parameter $k$. We also present a matroid partition algorithm that uses $ ilde{O}((n + k) \sqrt{p})$ rank oracle queries.

研究动机与目标

• 为克服自Cunningham 1986年算法以来长期存在的 O(n⁵ᐟ²) 独立性预言机查询复杂度上界，该上界在拟阵划分问题中持续了37年。
• 通过利用近期在交换图二分查找技术方面的进展，设计一种更快的拟阵划分算法。
• 通过在不同增强操作中重用边，实现在查询复杂度中对 k 的次线性依赖。
• 在独立性预言机和秩预言机模型下，为拟阵划分问题建立更紧致的查询复杂度上界。

提出的方法

• 引入边复用增强技术，重用先前交换图中的边，避免冗余的独立性查询。
• 将Cunningham的阻塞流框架与Nguy˜ˆen（2019）以及Chakrabarty等人（FOCS 2019）的二分查找技术相结合，高效定位增广路径。
• 采用参数化方法，令 d = p/k′²ᐟ³，以平衡初始化阶段与增强阶段的查询成本。
• 使用压缩的交换图表示法，追踪并复用多个增强操作中的有用边。
• 通过对路径长度和边集大小的仔细分析，利用对 √si 和 ci 的积分上界来限制增强调用的次数。
• 通过积分近似推导查询复杂度上界，表明增强调用次数为 O(√p/d)，从而实现整体复杂度的改进。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 k ≤ n 时，能否将拟阵划分的独立性预言机查询复杂度降低至 O(n⁵ᐟ²) 以下？
• RQ2 通过边重用，是否可能在拟阵划分的查询复杂度中实现对 k 的次线性依赖？
• RQ3 与标准增强方法相比，边复用增强在查询效率和路径长度增长方面表现如何？
• RQ4 在独立性预言机模型下，拟阵划分的最紧致可能查询复杂度是多少？
• RQ5 与拟阵交集不同，拟阵划分的独立性预言机与秩预言机复杂度之间是否存在显著差距？

主要发现

• 所提出的算法实现了 Õ(k′¹ᐟ³np + kn) 的独立性预言机查询次数，其中 k′ = min{k, p}，优于Cunningham的 O(np³ᐟ² + kn) 上界。
• 当 k ≤ n 时，查询复杂度降低至 Õ(n⁷ᐟ³)，打破了37年来存在的 O(n⁵ᐟ²) 复杂度屏障。
• 该算法通过边复用增强技术，重用先前交换图中的边，避免了冗余查询。
• 增强调用次数被限制在 O(√p/d) 以内，其中 d = p/k′²ᐟ³，确保了查询成本的均衡分布。
• 秩预言机变体实现了 Õ((n + k)√p) 次查询，表明在秩预言机模型下效率更高。
• 本文证明了拟阵划分的独立性预言机查询次数下界为 Ω(kn)，表明在查询复杂度方面，拟阵划分与拟阵交集之间存在根本性差距。