[论文解读] Faster p-adic Feasibility for Certain Multivariate Sparse Polynomials

Martín Avendaño, Ashraf Ibrahim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

advanced mathematical theories被引用 1

一句话总结

本文提出了检测稀疏多元多项式 p-进有理根的更快算法，表明在特定条件下，某些族（如诚实的 (n+1)-项式和三项式）可在 NP 时间甚至常数时间内求解。研究揭示了稀疏多项式系统中 p-进可行性问题的精确复杂度阈值，证明了其一般情况为 NP-难问题。

ABSTRACT

We present algorithms revealing new families of polynomials allowing sub-exponential detection of p-adic rational roots, relative to the sparse encoding. For instance, we show that the case of honest n-variate (n+1)-nomials is doable in NP and, for p exceeding the Newton polytope volume and not dividing any coefficient, in constant time. Furthermore, using the theory of linear forms in p-adic logarithms, we prove that the case of trinomials in one variable can be done in NP. The best previous complexity bounds for these problems were EXPTIME or worse. Finally, we prove that detecting p-adic rational roots for sparse polynomials in one variable is NP-hard with respect to randomized reductions. The last proof makes use of an efficient construction of primes in certain arithmetic progressions. The smallest n where detecting p-adic rational roots for n-variate sparse polynomials is NP-hard appears to have been unknown.

研究动机与目标

• 开发检测稀疏多元多项式 p-进有理根的亚指数时间算法。
• 确定在 Qp 上稀疏多项式系统中 p-进可行性的计算复杂度。
• 相对于稀疏编码，建立新的复杂度界——特别是 NP 完全性和 NP-难性。
• 探讨 p-进对数和等差数列在构造复杂度下界中的作用。
• 厘清稀疏多项式 p-进根检测中可解与不可解情形之间的边界。

提出的方法

• 利用 p-进对数的线性型理论，证明一元三项式问题的 NP 成员性。
• 应用赫尔米特标准型，将非诚实的多元多项式无损失地约化为诚实形式。
• 采用 AKS 质数测试和随机化约化方法分析复杂度界。
• 利用 Schwartz-Zippel 引理和素数密度估计，限定判别式为零的多项式比例。
• 通过随机化多项式时间约化，将 3CNFSAT 约化至 FEASQp(Z[x] × P)，以证明 NP-难性。
• 借助 Wagstaff 猜想，将 NP-难性结果强化为确定性复杂度结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在相对于稀疏编码的亚指数时间内检测稀疏多元多项式 p-进有理根？
• RQ2 在一元三项式上，检测 Qp 中 p-进根的精确复杂度类是什么？
• RQ3 稀疏多项式 p-进可行性的普遍问题是否属于 NP 或更难？
• RQ4 在何种条件下，牛顿多面体和素数 p 可确保 p-进根的常数时间检测？
• RQ5 等差数列和素数分布如何影响 p-进可行性的复杂度？

主要发现

• 对于任意固定的素数 p，有 FEASQp(F1,3) ∈ NP，优于先前的 EXPTIME 上界。
• 对于诚实的 n 元 (n+1)-项式，当 p 超过牛顿多面体体积且不整除任一系数时，p-进可行性可在常数时间内判定。
• 一元三项式的情形属于 NP，其证明基于 p-进对数的线性型理论。
• 在随机化约化下，检测一般稀疏一元多项式 p-进有理根的问题为 NP-难。
• 若 Wagstaff 猜想成立，则 FEASQp(Z[x] × P) ∈ P 意味着 P = NP，从而强化了 NP-难性结果。
• 存在一个可数个代数超曲面 E ⊂ Z[x1] × P 的并集，其自然密度为 0，使得 FEASQp((Z[x1] × P) ackslash E) ∈ NP。