[论文解读] Faster Pairing Computation

Christophe Arène, Tanja Lange+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2009

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文提出了一套针对爱德华曲线和韦伊斯特拉斯曲线配对计算中米勒算法的加倍与加法操作的优化显式公式。通过从几何角度重新诠释爱德华曲线的算术，并推导出新的系数计算方法，所提出的公式在配对计算速度上优于以往的爱德华曲线方法，且与韦伊斯特拉斯曲线公式相比具有竞争力，包括嵌入次数 k = 6 的新型配对友好型扭曲爱德华曲线。

ABSTRACT

Abstract. This paper proposes new explicit formulas for the doubling and addition step in Miller’s algorithm to compute pairings. For Edwards curves the formulas come from a new way of seeing the arithmetic. We state the first geometric interpretation of the group law on Edwards curves by presenting the functions which arise in the addition and doubling. Computing the coefficients of the functions and the sum or double of the points is faster than with all previously proposed formulas for pairings on Edwards curves. They are even competitive with all published formulas for pairing computation on Weierstrass curves. We also speed up pairing computation on Weierstrass curves in Jacobian coordinates. Finally, we present examples of pairing-friendly twisted Edwards curves with embedding degree k = 6.

研究动机与目标

• 通过推导米勒算法中加倍与加法步骤的新显式公式，加速椭圆曲线上配对计算。
• 通过配对计算中使用的函数，为爱德华曲线上的群律提供几何解释。
• 通过公式优化，使爱德华曲线上的性能达到或超过现有韦伊斯特拉斯曲线配对公式的水平。
• 使用雅可比坐标优化韦伊斯特拉斯曲线上的配对计算性能。
• 构造嵌入次数 k = 6 的配对友好型扭曲爱德华曲线的实例。

提出的方法

• 通过一种新颖的代数与几何视角，推导爱德华曲线上的点加倍与加法的新算术公式。
• 显式表达米勒算法中出现的函数，从而实现高效的系数计算与点运算。
• 通过公式简化最小化域运算，优化配对函数的求值过程。
• 将类似的优化技术应用于雅可比坐标下的韦伊斯特拉斯曲线，以提升性能。
• 构造具有嵌入次数 k = 6 的扭曲爱德华曲线，使其适用于配对密码学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过重新诠释爱德华曲线的算术，获得更快的配对计算公式？
• RQ2 爱德华曲线上群律的几何本质是什么？如何在配对算法中加以利用？
• RQ3 能否通过公式优化，使爱德华曲线上的配对计算性能与韦伊斯特拉斯曲线相比具有竞争力？
• RQ4 与现有方法相比，所提公式的性能提升在爱德华曲线与韦伊斯特拉斯曲线上分别如何？
• RQ5 嵌入次数 k = 6 的配对友好型扭曲爱德华曲线具有哪些特性？其构造标准为何？

主要发现

• 所提出的爱德华曲线点运算公式在速度上优于所有先前发表的用于爱德华曲线配对计算的公式。
• 所提出的爱德华曲线公式在性能上与目前已知最快的韦伊斯特拉斯曲线配对计算公式相当。
• 通过米勒算法中使用的显式函数，推导出了爱德华曲线群律的几何解释。
• 通过优化公式，提升了雅可比坐标下韦伊斯特拉斯曲线配对计算的性能。
• 本文给出了嵌入次数 k = 6 的配对友好型扭曲爱德华曲线的显式实例，使高效配对密码方案成为可能。