[论文解读] Faster Search of Clustered Marked States with Lackadaisical Quantum Walks

Amit Saha, Ritajit Majumdar+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用 14

一句话总结

本文提出了一种自定义自环权重范围 $ l = \frac{4}{N(k+1)} \pm \delta $ 的漫不经心量子行走，其中 $ \frac{4}{N(k+2)} \leq l \leq \frac{4}{Nk} $，以在 $ \sqrt{N} \times \sqrt{N} $ 网格中近乎完美地找到所有聚集的标记状态。该方法在不使用振幅放大技术的情况下，实现了比 Grover 量子比特和先前的漫不经心行走方法更快的搜索时间，尤其在 $ n $ 为奇数且 $ k = n^2 $ 时表现更优。

ABSTRACT

The nature of discrete-time quantum walk in the presence of multiple marked states has been studied by Nahimovs and Rivosh. They introduced an exceptional configuration of clustered marked states $i.e.,$ if the marked states are arranged in a $\sqrt{k} imes \sqrt{k}$ cluster within a $\sqrt{N} imes \sqrt{N}$ grid, where $k=n^{2}$ and $n$ an odd integer. They showed that finding a single marked state among the multiple ones using quantum walk with AKR (Ambainis, Kempe and Rivosh) coin requires $\Omega(\sqrt{N} - \sqrt{k})$ time. Furthermore, Nahimov and Rivosh also showed that the Grover's coin can find the same configuration of marked state both faster and with higher probability compared to that with the AKR coin. In this article, we show that using lackadaisical quantum walk, a variant of a three-state discrete-time quantum walk on a line, the success probability of finding all the clustered marked states of this exceptional configuration is nearly 1 with smaller run-time. We also show that the weights of the self-loop suggested for multiple marked states in the state-of-the-art works are not optimal for this exceptional configuration of clustered mark states. We propose a range of weights of the self-loop from which only one can give the desired result for this configuration.

研究动机与目标

• 解决在二维网格中使用量子行走搜索多个聚集标记状态的挑战，因为先前的方法在这些情况下失效或效率低下。
• 克服现有漫不经心量子行走权重（如 $ l = \frac{4(k - \sqrt{k})}{N} $，$ l = \frac{4k}{N} $）在某些聚集标记状态的特殊配置下失效的局限性。
• 识别出特定的自环权重范围，使在 $ \sqrt{k} \times \sqrt{k} $ 聚集区域内实现对所有标记状态的高保真度检测，并将运行时间降至最低。
• 通过优化行走动力学直接实现近乎 1 的成功概率，从而消除对振幅放大的需求。
• 为任意奇数 $ n $（其中 $ k = n^2 $）建立广义且最优的权重区间，适用于特殊聚集配置下的漫不经心量子行走。

提出的方法

• 在 $ \sqrt{N} \times \sqrt{N} $ 的二维网格上使用漫不经心量子行走，其量子比特空间为五维，包含一个自环态。
• 将量子比特算符定义为 $ D = 2|s_D\rangle\langle s_D| - I_5 $，其中 $ |s_D\rangle = \frac{1}{\sqrt{4 + l}}( |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle + |\leftarrow\rangle + |\rightarrow\rangle + \sqrt{l}|.\rangle ) $，自环权重 $ l $ 可变。
• 在标记状态处施加微扰，将扩散算符替换为 $ -I $，同时对未标记状态使用类似 Grover 的量子比特。
• 通过在不同网格大小 $ N $ 和簇大小 $ k = n^2 $（$ n $ 为奇数）下进行数值模拟，评估成功概率和运行时间。
• 系统性地测试自环权重范围 $ l = \frac{4}{N(k+1)} \pm \delta $，其中 $ \delta $ 调整以满足 $ \frac{4}{N(k+2)} \leq l \leq \frac{4}{Nk} $，以识别每种配置下的最优权重。
• 将结果与 Grover 量子比特及先前的漫不经心行走权重（如 $ \frac{4(k - \sqrt{k})}{N} $，$ \frac{4k}{N} $）进行比较，以验证在成功概率和运行时间上的优越性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在漫不经心量子行走中，何种自环权重范围可使在 $ \sqrt{k} \times \sqrt{k} $ 聚集区域内找到所有标记状态的成功概率接近 1，且在 $ \sqrt{N} \times \sqrt{N} $ 网格中实现？
• RQ2 与 Grover 量子比特及先前的漫不经心行走权重相比，所提出的权重范围在成功概率和运行时间方面的性能如何？
• RQ3 所提出的权重范围是否能够消除在搜索聚集标记状态时对振幅放大的需求？
• RQ4 所提出的权重范围在不同簇大小 $ k = n^2 $（$ n $ 为奇数）下是否具有鲁棒性和最优性，特别是在 $ k > 9 $ 时？
• RQ5 在使用所提出的权重范围时，成功概率是否保持在接近 1，且运行时间是否在不同网格大小 $ N $ 下仍保持较低？

主要发现

• 使用自环权重范围 $ l = \frac{4}{N(k+1)} \pm \delta $，其中 $ \frac{4}{N(k+2)} \leq l \leq \frac{4}{Nk} $，在 $ k = 9 $ 且 $ N = 10,000 $ 时，成功概率约为 0.997，仅需 471 步。
• 对于 $ k = 9 $，所提方法在 471 步内实现 0.997134 的成功概率，显著优于先前的漫不经心行走权重 $ \frac{4k}{N} = 0.0036 $，后者仅实现 0.011434 的成功概率。
• 所提权重范围在步数少于 Grover 量子比特方法的情况下，实现了近乎 1 的成功概率（例如，$ k = 9 $，$ N = 8100 $ 时为 0.994785），而后者需 $ \sim\sqrt{\log N} $ 次迭代才能提升概率。
• 现有漫不经心行走权重（如 $ \frac{4(k - \sqrt{k})}{N} $ 和 $ \frac{4k}{N} $）在 $ k > 9 $ 时完全无法检测到任何标记状态，而所提方法在 $ k = 25 $ 和 $ k = 49 $ 时仍保持高成功概率。
• 对于 $ k = 25 $，在 $ N = 2500 $ 时，方法在 18,557 步内实现 0.991250 的成功概率；对于 $ k = 49 $，在 $ N = 400 $ 时，成功概率达 0.896939，耗时 234,022 步，表明在所提权重范围内具有良好的可扩展性。
• 数值模拟确认，对于每种配置，仅有一个权重位于所提范围内能实现最优性能，表明每个 $ N $ 和 $ k $ 都存在唯一的最优权重，验证了所推导区间的精确性。