[论文解读] Faster Shortest Non-contractible Cycles in Directed Surface Graphs

Kyle Fox|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2011

Graph Theory and Algorithms参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文提出了在具有 g 个亏格和 b 个边界圈的定向图嵌入曲面上，计算最短非同伦收缩圈与非零同调圈的更快算法。通过利用分治策略和在一组典范环路上的动态数据结构，该算法在非同伦收缩圈上达到 O((g³ + gb)n log n) 的时间复杂度，在非零同调圈上达到 O((g² + gb)n log n) 的时间复杂度，显著优于先前的界。

ABSTRACT

Let G be a directed graph embedded on a surface of genus g with b boundary cycles. We describe an algorithm to compute the shortest non-contractible cycle in G in O((g 3 + g b)n log n) time. Our algorithm improves the previous best known time bound of (g + b) O(g+b) n log n for all positive g and b. We also describe an algorithm to compute the shortest non-null-homologous cycle in G in O((g 2 + g b)n log n) time, generalizing a known algorithm to compute the shortest non-separating cycle.

研究动机与目标

• 改进在具有 g 亏格和 b 个边界圈的曲面上嵌入的有向图中，计算最短非同伦收缩圈的时间复杂度。
• 将现有针对非分离圈的算法推广，以计算有向曲面图中长度最短的非零同调圈。
• 实现与亏格 g 的近二次方依赖关系，将之前对 g + b 的指数依赖关系降低。
• 提供在有向曲面图中，对亏格和边界圈数量均具有良好扩展性的高效算法。

提出的方法

• 该算法利用曲面上的典范环路系统，将问题分解为更小的子问题。
• 在典范环路系统上应用分治策略，以高效探索候选圈。
• 在图上维护动态数据结构，以在计算过程中支持快速最短路径查询。
• 该方法利用曲面嵌入的拓扑性质，将搜索空间限制在本质圈范围内。
• 对于非零同调圈，该方法将框架扩展以使用圈基追踪同调类。
• 时间复杂度由典范环路的数量与图上最短路径计算的成本共同决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将有向曲面图中计算最短非同伦收缩圈的时间复杂度改进至超越先前 (g + b)^O(g+b) n log n 的界？
• RQ2 是否可以将针对非分离圈的算法推广，以计算有向图中长度最短的非零同调圈？
• RQ3 此类圈计算问题在亏格 g 和边界数 b 上的最优依赖关系为何？
• RQ4 能否有效利用典范环路系统，以减少最短本质圈的搜索空间？

主要发现

• 该算法在 O((g³ + gb)n log n) 时间内计算最短非同伦收缩圈，优于先前的 (g + b)^O(g+b) n log n 界。
• 该算法在 O((g² + gb)n log n) 时间内计算最短非零同调圈，推广了已知的非分离圈结果。
• 通过将对 g + b 的指数依赖关系降低为多项式依赖关系，特别是对 g 的立方依赖关系，实现了性能提升。
• 由于典范环路系统的结构化使用，该方法在亏格和边界圈数量均较大时仍保持高效。