[论文解读] Faster Streaming algorithms for graph spanners

Surender Baswana|ArXiv.org|Nov 6, 2006

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文提出了一种单遍流式算法，用于在无权图中以 O(m) 总处理时间计算 (2k−1)-spanner，并实现最优的大小-伸展权衡；并通过在 StreamSort 模型中使用 O(log n) 内存和 O(k) 遍，将其扩展至加权图。主要贡献是提出了一种近乎最优、高效的流式 spanner 构造算法，每条边的处理时间恒定。

ABSTRACT

Given an undirected graph $G=(V,E)$ on $n$ vertices, $m$ edges, and an integer $t\ge 1$, a subgraph $(V,E_S)$, $E_S\subseteq E$ is called a $t$-spanner if for any pair of vertices $u,v \in V$, the distance between them in the subgraph is at most $t$ times the actual distance. We present streaming algorithms for computing a $t$-spanner of essentially optimal size-stretch trade offs for any undirected graph. Our first algorithm is for the classical streaming model and works for unweighted graphs only. The algorithm performs a single pass on the stream of edges and requires $O(m)$ time to process the entire stream of edges. This drastically improves the previous best single pass streaming algorithm for computing a $t$-spanner which requires $θ(mn^{\frac{2}{t}})$ time to process the stream and computes spanner with size slightly larger than the optimal. Our second algorithm is for {\em StreamSort} model introduced by Aggarwal et al. [FOCS 2004], which is the streaming model augmented with a sorting primitive. The {\em StreamSort} model has been shown to be a more powerful and still very realistic model than the streaming model for massive data sets applications. Our algorithm, which works of weighted graphs as well, performs $O(t)$ passes using $O(\log n)$ bits of working memory only. Our both the algorithms require elementary data structures.

研究动机与目标

• 设计一种流式算法，为无权图计算 (2k−1)-spanner，实现近乎最优的大小-伸展权衡。
• 将该算法扩展至更强大的流式模型——StreamSort 模型，以处理加权图。
• 在保持近乎最优 spanner 大小的前提下，最小化遍数、工作内存和每条边的处理时间。
• 在经典流式模型中实现每条边的恒定摊销处理时间。
• 解决预期 spanner 大小 O(kn^{1+1/k}) 与猜想最优界 Ω(n^{1+1/k}) 之间的差距。

提出的方法

• 采用基于聚类的方法，将顶点分组为簇，并根据其与簇中心的距离处理边。
• 在每次迭代中，以概率 n^{-1/k} 采样顶点，考虑与采样簇中顶点相连的边以纳入 spanner。
• 对于每个顶点，仅将到每个权重小于其到最近采样簇距离的簇的最轻边标记为 spanner 边。
• 使用 Stream 遍过滤非 spanner 边，使用 Sort 遍将无向边的两个方向分组，以实现高效删除。
• 在 StreamSort 模型中，使用多遍：一次排序遍按顶点分组边，随后使用流式遍分配簇中心并更新边元数据。
• 算法为每条边维护 lcenter 和 rcenter 以跟踪簇成员关系，并确保各遍之间路径近似的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无权图的边流上单遍处理，以 O(m) 总处理时间计算 (2k−1)-spanner？
• RQ2 能否在保持低内存和遍数复杂度的前提下，将该流式算法扩展至加权图？
• RQ3 在 StreamSort 模型中，能否实现 O(log n) 工作内存和 O(k) 遍，以计算 (2k−1)-spanner？
• RQ4 流式模型中 spanner 大小与算法效率之间的权衡是什么？
• RQ5 能否在流式算法中消除 spanner 大小 O(kn^{1+1/k}) 中的乘法因子 k？

主要发现

• 所提出的无权图单遍流式算法总时间复杂度为 O(m)，实现每条边恒定的摊销处理时间。
• 该算法计算出的 (2k−1)-spanner 期望大小为 O(kn^{1+1/k})，实现了最优的大小-伸展权衡。
• 在 StreamSort 模型中，该算法使用 O(k) 遍和 O(log n) 工作内存，为加权图计算 (2k−1)-spanner。
• spanner 的期望大小为 O(min(m, kn^{1+1/k}))，与猜想的下界仅相差一个因子 k。
• 通过在聚类上的归纳论证保持了正确性，确保任何被删除的边在 spanner 中均有长度为 (2k−1) 的路径。
• 该方法在所有效率指标上均实现近乎最优：遍数、内存、处理时间与 spanner 大小。