[论文解读] Fat Triangulations and Differential Geometry

Emil Saucan|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文证明了在所有单形均保持最小角度厚度的肥沃三角剖分（fat triangulations）下，分片平坦逼近可收敛于光滑黎曼流形的Lipschitz-Killing曲率。通过结合Saucan关于肥沃三角剖分存在性的结果与Cheeger-Müller-Schrader的曲率收敛定理，本文证明了流形上的曲率测度可通过肥沃PL结构进行度量逼近，从而在拟共形映射和Regge微分几何中具有应用价值。

ABSTRACT

We study the differential geometric consequences of our previous result on the existence of fat triangulations, in conjunction with a result of Cheeger, Müller and Schrader, regarding the convergence of Lipschitz-Killing curvatures of piecewise-flat approximations of smooth Riemannian manifolds. A further application to the existence of quasiconformal mappings between manifolds, as well as an extension of the triangulation result to the case of almost Riemannian manifolds, are also given. In addition, the notion of fatness of triangulations and its relation to metric curvature and to excess is explored. Moreover, applications of the main results, and in particular a purely metric approach to Regge calculus, are also investigated.

研究动机与目标

• 建立肥沃三角剖分在分片平坦流形中曲率逼近的微分几何后果。
• 探讨三角剖分中度量曲率、超额与肥沃度之间的关联。
• 将肥沃三角剖分的存在性推广至近乎黎曼流形。
• 通过肥沃三角剖分提供一种纯粹基于度量的Regge微分几何方法。
• 通过曲率收敛性研究流形之间拟共形映射的存在性。

提出的方法

• 利用Saucan（2005）定理1.1，证明在满足拓扑与光滑性条件的流形上存在全局肥沃三角剖分。
• 应用Cheeger、Müller与Schrader（1984）关于肥沃分片平坦逼近中Lipschitz-Killing曲率的收敛结果。
• 通过单形所有面的j维体积与直径^j之比的下确界定义肥沃度，以确保几何控制。
• 应用拟共形性的度量定义——无穷小球映射为有界椭球体——以关联曲率缩放与畸变系数。
• 利用结构方程（dω_k = -∑ω_kl ∧ ω_l, dω_kl = -∑ω_ki ∧ ω_il + Ω_kl）定义曲率形式与Lipschitz-Killing曲率。
• 通过拟共形映射下的线性畸变H(f,x) = a₁/aₙ推导曲率缩放，得到R² ∝ C(K,n,j)R¹（按测度意义）。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑黎曼流形上的Lipschitz-Killing曲率能否由肥沃分片平坦三角剖分上的曲率逼近？
• RQ2 三角剖分的肥沃度与其保持度量曲率测度的能力之间存在何种关系？
• RQ3 流形之间的拟共形映射是否诱导曲率测度的可控缩放？
• RQ4 能否通过肥沃三角剖分建立Regge微分几何的纯粹度量形式？
• RQ5 在何种条件下，流形允许存在非平凡的拟meromorphic映射？

主要发现

• 在连通、定向的n维流形（n ≤ 4）上，若边界分量具有固定肥沃度φ₀的肥沃三角剖分，则存在肥沃三角剖分。
• 光滑黎曼流形Mⁿ上的Lipschitz-Killing曲率Rⱼ是其在Hausdorff度量下收敛的肥沃分片平坦逼近序列Mⁿᵢ上曲率的极限。
• 在PL流形之间的K-拟共形映射下，曲率测度按R²ⱼ = C(K,n,j)R¹Ɐ缩放，其中C依赖于K、维数n与曲率阶数j。
• 对于光滑流形，曲率测度满足R²ⱼ = (1+ε₀)C(K,n,j)R¹ⱼ（按测度意义），其中ε₀ > 0可任意小。
• 任何满足定理1.1拓扑条件的连通近乎黎曼流形，均存在非平凡的拟meromorphic映射至n维球面。
• 拟共形性的度量定义——有界线性畸变H(f,x) = a₁/aₙ——确保无穷小区域映射为几乎椭球体，从而支持曲率缩放分析。