[论文解读] Fatou and brother Riesz theorems in the infinite-dimensional polydisc

Alexandru Aleman, Jan‐Fredrik Olsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在无限维多圆盘上建立了 Hardy 空间中 Fatou 定理与兄弟 Riesz 定理的无限维类比，证明了傅里叶谱支持在非负与非正多重指标上的函数，其径向边界极限存在。本文提供了兄弟 Riesz 定理的新证明，并将 Rudin 关于 $ H^1 $ 函数模的结论推广至 $ \bbT^\f $，同时构造了反例，表明在无谱限制时点态径向极限会失效。

ABSTRACT

We study the boundary behavior of functions in the Hardy spaces on the infinite dimensional polydisk. These spaces are intimately related to the Hardy spaces of Dirichlet series. We exhibit several Fatou and Marcinkiewicz-Zygmund type theorems for radial convergence. As a consequence one obtains easy new proofs of the brothers F. and M. Riesz theorems in infinite dimension. Finally, we provide counterexamples showing that the pointwise Fatou theorem is not true in infinite dimensions without restrictions to the mode of radial convergence even for bounded analytic functions.

研究动机与目标

• 将经典的 Fatou 与 Marcinkiewicz-Zygmund 定理推广至无限维多圆盘设定。
• 利用径向收敛结果，为无限维兄弟 F. 与 M. Riesz 定理提供新的、简化的证明。
• 将 Rudin 关于 $ H^1 $ 函数几乎处处等于另一 $ H^1 $ 函数模的结论推广至 $ \bbT^\f $。
• 研究在无限维情形下点态径向边界极限失效的原因，并构造反例。
• 确定在缺乏有限维正则性时，径向边界行为仍有效的条件。

提出的方法

• 通过沿序列 $ (r^n e^{i\theta_n}) $ 的径向逼近分析 $ H^p(\bbT^\f) $ 函数的边界行为，其中 $ r \nearrow 1 $，重点关注傅里叶谱位于 $ \bbN^\f_0 \cup (-\bbN^\f_0) $ 的函数。
• 在每个环面因子 $ \bbT $ 上应用弱-* 收敛与 Poisson 核及共轭 Poisson 核的最大函数估计，利用 $ Mu_n \geq C \min(1, \delta_n |t|^{-1}) $ 推导级数发散。
• 利用 Herglotz 表示与基于 $ \ell^2 $ 的估计，证明 $ f $ 在 $ c_0 \cap \bbD^\f $ 上一致有界且非零，从而保证其在多圆盘中的解析性。
• 利用 $ u_n $ 与 $ \tilde{u}_n $ 的独立性与一致有界性，结合 [7, Lemma 3.14]，推导出 $ \sum Mu_n $ 与 $ \sum |\tilde{u}_n| $ 几乎处处发散，意味着存在发散的径向路径。
• 构造一个有界解析函数 $ f \in H^\infty(\bbT^\f) $，使得在特定径向逼近下几乎处处的径向极限失效，使用依赖于索引块的扰动半径 $ r_{n,k} $。
• 应用 Hilbert 的论证方法，证明 $ f $ 在 $ c_0 \cap \bbD^\f $ 上具有有界点态取值，从而保证 $ f $ 在多圆盘中定义良好且非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 定理 1 中的谱限制（傅里叶支持在 $ \bbN^\f_0 \cup (-\bbN^\f_0) $）能否被移除？
• RQ2 是否存在一个有界解析函数在 $ \bbT^\f $ 上，使得即使在单调半径 $ r_{n,k} \geq r_{n+1,k} $ 下，其径向收敛仍会失效？
• RQ3 在点态独立的径向逼近下，径向收敛失效是否不可避免？
• RQ4 对于 $ H^p(\bbT^\f) $ 函数，非切向边界极限的行为如何？
• RQ5 在何种径向逼近下，兄弟 Riesz 定理（边界值 a.e. 为零蕴含 $ f \equiv 0 $）成立？

主要发现

• 定理 1 建立了傅里叶谱位于 $ \bbN^\f_0 \cup (-\bbN^\f_0) $ 的 $ f \in H^p(\bbT^\f) $ 的径向边界极限，将经典的 Fatou 型结果推广至无限维情形。
• 推论 1 与推论 2 利用径向收敛技术，为无限维兄弟 F. 与 M. Riesz 定理提供了新的、简化的证明。
• 推论 3 通过其第 $ m $ 个部分乘积在 $ L^1 $ 中的一致有界性，刻画了 $ f \in H^1(\bbT^\f) $，提供了一种新的可积性判别准则。
• 定理 2 将 Marcinkiewicz-Zygmund 定理推广至无限维情形，表明具有此类傅里叶支持的奇异测度，其径向极限 a.e. 为零。
• 定理 4 构造了一个有界解析函数 $ f \in H^\infty(\bbT^\f) $，使得在特定径向逼近下，其径向极限几乎处处失效，证明了谱限制的必要性。
• 该反例依赖于一个几乎处处发散的级数 $ \sum Mu_n = \infty $，其构造基于 $ \delta_n \sim 1/(n+2)\log(n+2) $，导致 $ \arg f $ 的径向增长无界。