[论文解读] Fault Tolerant Quantum Computation with Constant Error

Dorit Aharonov, Michael Ben-Or|ArXiv.org|Nov 14, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用 31

一句话总结

本文展示了使用嵌套量子纠错码实现容错量子计算，具有恒定的错误阈值，从而在时间和空间上实现对数多重的开销。它证明了即使每个门或量子比特的噪声被限制在恒定阈值 η₀ ≈ 10⁻⁶ 以内，量子计算仍然可行，前提是底层量子码是“合适”的，并能通过酉变换和傅里叶变换实现通用门操作。

ABSTRACT

Recently Shor showed how to perform fault tolerant quantum computation when the error probability is logarithmically small. We improve this bound and describe fault tolerant quantum computation when the error probability is smaller than some constant threshold. The cost is polylogarithmic in time and space, and no measurements are used during the quantum computation. The result holds also for quantum circuits which operate on nearest neighbors only. To achieve this noise resistance, we use concatenated quantum error correcting codes. The scheme presented is general, and works with all quantum codes that satisfy some restrictions, namely that the code is ``proper''. We present two explicit classes of proper quantum codes. The first example of proper quantum codes generalizes classical secret sharing with polynomials. The second uses a known class of quantum codes and converts it to a proper code. This class is defined over a field with p elements, so the elementary quantum particle is not a qubit but a ``qupit''. With our codes, the threshold is about 10^(-6). Hopefully, this paper motivates a search for proper quantum codes with higher thresholds, at which point quantum computation becomes practical.

研究动机与目标

• 弥合现有具有对数多重错误率的容错方案与在恒定噪声下实际量子计算之间的差距。
• 建立一个通用的容错量子计算框架，适用于任何‘合适’的量子码，且独立于具体码结构。
• 证明通过嵌套码和基于酉变换的纠错，可在不进行计算过程中测量的情况下容忍恒定的噪声率（η₀ ≈ 10⁻⁶）。
• 通过在每级添加常数开销的交换门，将结果扩展到近邻量子线路。
• 激励寻找具有更高阈值的更好量子码，以使容错量子计算在实际中可行。

提出的方法

• 使用嵌套量子纠错码，其中每一级使用一种‘合适’的量子码对逻辑量子比特进行编码，该码支持通用门操作。
• 采用一个通用门集，包括有限域（F_p）上的加法、乘法和相位移，实现在编码态上的通用量子计算。
• 在有限域 F_p 上应用傅里叶变换，以在计算基和逻辑基之间切换，从而实现初始化和读出操作。
• 通过酉操作（而非测量）实现纠错，利用码的结构在不坍缩叠加态的情况下检测并纠正错误。
• 利用插值技术和群表示论证明，该门集生成 SU(n) 的一个在稠密子群，从而确保通用量子计算。
• 通过利用码的嵌套结构和每门操作的常数大小过程，将电路深度的膨胀降低至时间和空间的对数多重。

实验结果

研究问题

• RQ1 当每个门或量子比特的噪声率被限制在常数范围内而非对数多重函数时，能否实现容错量子计算？
• RQ2 量子码需满足何种条件，才能支持恒定错误率下的容错计算？
• RQ3 是否可以完全通过酉操作实现纠错，而无需在计算过程中进行测量，同时保持容错性？
• RQ4 阈值错误率 η₀ 如何依赖于底层量子码的参数？
• RQ5 该方案能否在仅引入常数开销的情况下适配到近邻量子线路？

主要发现

• 本文建立了使用合适量子码进行容错量子计算的恒定阈值错误率 η₀ ≈ 10⁻⁶。
• 通过在时间和空间上实现对数多重开销，实现了容错性，使该构造在原则上具有可扩展性。
• 该方案无需在计算过程中进行测量，而是依赖于酉纠错和码的嵌套结构。
• 当在每级添加常数开销的交换门时，该结果在近邻量子线路中依然成立。
• 该框架具有通用性，适用于任何‘合适’的量子码，包括基于多项式的 F_p 上的码以及从已知量子码导出的码。
• 本文激励寻找具有更高阈值的更好量子码，可能使在当前噪声水平下实现实际的容错量子计算成为可能。