[论文解读] FBstab: A Stabilized Semismooth Quadratic Programming Algorithm with Applications in Model Predictive Control

Dominic Liao‐McPherson, Ilya Kolmanovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2019

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 85被引用 34

一句话总结

FBstab 是一种新颖的、通过近端稳定化的半光滑牛顿法，用于凸二次规划（QP），结合了原始-对偶近端点算法与半光滑牛顿求解器。该方法实现了鲁棒的收敛性，能够处理退化和不可行问题，支持高效的热启动，并能检测原始和对偶不可行性，因此在对 Hessian 矩阵结构假设极少（仅需半正定）的前提下，非常适用于实时模型预测控制（MPC）。

ABSTRACT

This paper introduces the proximally stabilized Fischer-Burmeister method (FBstab); a new algorithm for convex quadratic programming that synergistically combines the proximal point algorithm with a primal-dual semismooth Newton-type method. FBstab is numerically robust, easy to warmstart, handles degenerate primal-dual solutions, detects infeasibility/unboundedness and requires only that the Hessian matrix be positive semidefinite. We outline the algorithm, provide convergence and convergence rate proofs, report some numerical results from model predictive control benchmarks, and also include experimental results. We show that FBstab is competitive with and often superior to, state of the art methods, has attractive scaling properties, and is especially promising for model predictive control applications.

研究动机与目标

• 解决在模型预测控制（MPC）应用中对数值鲁棒、实时二次规划求解器的需求。
• 克服现有方法的局限性，如热启动性能差（活动集法）、假设条件严格（例如强凸性、线性无关约束规范性条件 LICQ），或缺乏不可行性检测能力。
• 开发一种在退化解以及原始/对偶不可行情况下仍能保持快速收敛和可靠性的方法。
• 通过支持热启动和结构利用，实现嵌入式系统中的高效实现。
• 在仅假设 Hessian 矩阵为半正定的最小条件下，提供收敛性和不可行性检测的理论保证。

提出的方法

• 将原始-对偶近端点算法（近端乘子法）与一种半光滑牛顿型方法相结合，以求解凸 QP 问题。
• 通过半光滑牛顿法求解正则化子问题，其快速收敛得益于近端稳定化带来的自动满足的正则性条件。
• 采用 KKT 条件的半光滑重表述，将牛顿法应用于非光滑系统。
• 采用近端正则化，以稳定牛顿迭代过程，并支持检测原始不可行性及对偶不可行性（无界性）。
• 通过从上一时刻解初始化牛顿求解器，实现热启动，这对 MPC 应用至关重要。
• 利用类似于内点法的结构化线性代数求解器，使求解时间在 MPC 中与预测时域长度呈线性关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过近端正则化稳定半光滑牛顿法，以处理退化和不可行 QP 问题，同时保持快速收敛？
• RQ2 在仅假设 Hessian 矩阵为半正定的条件下，所提方法是否能鲁棒地检测原始和对偶不可行性？
• RQ3 在实时 MPC 基准测试中，FBstab 与最先进的 QP 求解器（如 IP、AS、DN、FO）相比，在性能和鲁棒性方面表现如何？
• RQ4 FBstab 是否能高效地实现热启动，并在 MPC 问题中实现与滚动时域长度的线性扩展？
• RQ5 在提前终止或模型失配情况下，该方法是否仍能保持数值鲁棒性和低残差？

主要发现

• FBstab 仅在 Hessian 矩阵为半正定且解存在的假设下，即可收敛至最优解或检测出不可行性（原始或对偶）。
• 在伺服电机 MPC 基准测试中，FBstab 在热启动下平均求解时间为 0.2 ms（归一化为 4.5 ms），平均时间优于所有其他方法。
• 在航天器相对运动 MPC 问题中，FBstab 平均热启动时间为 0.1 ms（归一化为 63.9 ms），显著快于 FBRS 和 PDIP，且正确检测出不可行性。
• 在共聚反应 MPC 问题中，FBstab 平均热启动时间为 0.4 ms（归一化为 97.1 ms），优于所有竞争方法，包括 DAS 和 NNLS。
• 在倒立摆实验验证中，FBstab 将 QP 残差保持在 10⁻⁴ 以下，最大执行时间仅为 4.3 ms，安全低于 10 ms 的采样周期。
• 在测试问题中，当 c = −1 且 b = ∞ 时，FBstab 正确检测出对偶不可行性（无界性），经过 3 次近端迭代和 8 次牛顿迭代后返回 δx = (0, 671) × 10⁵。