[论文解读] fc-multicategories

Tom Leinster|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 1999

Advanced Algebra and Logic被引用 3

一句话总结

本文引入了fc-多范畴（fc-multicategories），一种广义的二维范畴结构，统一了双范畴、张量范畴、双范畴和多范畴。它展示了fc-多范畴如何自然地支持双模构造与范畴的丰富化，从而在更一般且概念更一致的框架下扩展了经典范畴论。

ABSTRACT

fc-multicategories are a very general kind of two-dimensional structure, encompassing bicategories, monoidal categories, double categories and ordinary multicategories. We define them and explain how they provide a natural setting for two familiar categorical ideas. The first is the bimodules construction, traditionally carried out on suitably cocomplete bicategories but perhaps more naturally carried out on fc-multicategories. The second is enrichment: there is a theory of categories enriched in an fc-multicategory, extending the usual theory of enrichment in a monoidal category. We finish by indicating how this work is just the simplest case of a much larger phenomenon.

研究动机与目标

• 形式化一种广义的二维范畴结构，以统一双范畴、张量范畴、双范畴和多范畴。
• 表明双模构造——传统上局限于共完备双范畴——在fc-多范畴上可更自然地定义。
• 将范畴丰富化的理论从张量范畴推广至在fc-多范畴中的丰富化。
• 将fc-多范畴定位为更广泛高维范畴现象中的一种基础情形。

提出的方法

• 将fc-多范畴定义为多范畴的推广，包含2-胞态与兼容对象和态射的复合规则。
• 引入可表示性（representability）的概念，使双模构造能自然地在fc-多范畴框架内表述。
• 发展在fc-多范畴中丰富的范畴理论，通过广义作用结构推广张量范畴中的丰富化。
• 利用普遍性质与二维复合法则，确保结构间的协调性与自然性。
• 证明在fc-多范畴中，双模与丰富范畴的构造满足预期的普遍性质。
• 将该框架定位为更高维范畴结构更大理论体系中的基础情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 双模构造如何能超越共完备双范畴，推广至更广泛的范畴设定？
• RQ2 fc-多范畴在何种意义上提供了比传统张量范畴更自然的丰富化设定？
• RQ3 fc-多范畴的哪些结构特征使其能够统一双范畴与双范畴等不同的二维范畴框架？
• RQ4 fc-多范畴的普遍性质如何支持丰富范畴与双模的构造？
• RQ5 fc-多范畴在更高维范畴结构更大理论体系中扮演何种基础性角色？

主要发现

• fc-多范畴提供了一个统一框架，能自然地容纳双范畴、张量范畴、双范畴与普通多范畴。
• 双模构造在fc-多范畴设定中被证明可更自然地定义，并具有普遍特征，且无需共完备性假设。
• 发展了在fc-多范畴中丰富的范畴理论，将经典张量范畴中的丰富化推广至更广泛语境。
• 该框架揭示，双模与丰富范畴的标准构造源于fc-多范畴中固有的普遍性质。
• 结果表明，fc-多范畴不仅是技术性推广，更是更高维范畴现象更大类别的基础结构。