[论文解读] Feasibility Tests for Recurrent Real-Time Tasks in the Sporadic DAG Model

Vincenzo Bonifaci, Alberto Marchetti-Spaccamela+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2012

Real-Time Systems Scheduling参考文献 8被引用 58

一句话总结

本文将间歇性DAG模型扩展至多核平台上的多个周期性实时任务，提出针对EDF调度的多项式与伪多项式可调度性测试。建立了 $2 - 1/m + \epsilon$ 的加速比界限，并基于任务体积、周期与截止时间约束，提出了EDF可调度性的充分条件。

ABSTRACT

A model has been proposed in [Baruah et al., in Proceedings of the IEEE Real-Time Systems Symposium 2012] for representing recurrent precedence-constrained tasks to be executed on multiprocessor platforms, where each recurrent task is modeled by a directed acyclic graph (DAG), a period, and a relative deadline. Each vertex of the DAG represents a sequential job, while the edges of the DAG represent precedence constraints between these jobs. All the jobs of the DAG are released simultaneously and have to be completed within some specified relative deadline. The task may release jobs in this manner an unbounded number of times, with successive releases occurring at least the specified period apart. The feasibility problem is to determine whether such a recurrent task can be scheduled to always meet all deadlines on a specified number of dedicated processors. The case of a single task has been considered in [Baruah et al., 2012]. The main contribution of this paper is to consider the case of multiple tasks. We show that EDF has a speedup bound of 2-1/m, where m is the number of processors. Moreover, we present polynomial and pseudopolynomial schedulability tests, of differing effectiveness, for determining whether a set of sporadic DAG tasks can be scheduled by EDF to meet all deadlines on a specified number of processors.

研究动机与目标

• 为在同构多核平台上调度多个周期性前驱约束任务（建模为有向无环图，DAG）的可行性提供解决方案。
• 将先前针对单个任务的间歇性DAG调度工作扩展至多任务场景，该场景引入了复杂的干扰与资源竞争。
• 为EDF调度在间歇性DAG模型下设计高效的可调度性测试，包括多项式与伪多项式时间复杂度。
• 在多任务间歇性DAG场景下，建立EDF的理论性能界限，特别是加速比界限。

提出的方法

• 提出对累积工作量随时间变化的分段线性近似，记为 $\hat{w}_i(t)$，以在时间 $t$ 之前界定每个DAG任务 $G_i$ 的总工作量。
• 采用 $\epsilon$-近似技术，将工作函数的分段数减少至 $O(\frac{1}{\epsilon} \sum_i |V_i| \cdot (1 + \frac{D_i}{T_i}))$，从而实现高效计算。
• 利用 $\lim_{t\to\infty} f(t)/t$ 计算工作量与时间比值的上确界，借助分段线性性质。
• 基于任务体积、周期与截止时间，推导EDF可调度性的充分条件：$\sum_{T_i \leq D_k} \frac{\mathrm{vol}(G_i)}{T_i} + \sum_{T_i > D_k} \frac{\mathrm{vol}(G_i)}{D_k} \leq \frac{m+1/2}{3}$。
• 结合工作函数界与处理器利用率及空闲时间分析，当EDF未能满足截止时间时，推导出矛盾。
• 在 $[r_j, d_j)$ 上进行最坏情况区间分析，区分忙碌时间 $X$ 与空闲时间 $Y$，其中 $Y \leq \mathrm{len}(G_k) \leq D_k/3$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $m$ 个同构处理器上，EDF调度在多个间歇性DAG任务下的加速比界限是多少？
• RQ2 能否为多任务间歇性DAG模型下的EDF设计出具有多项式或伪多项式时间复杂度的高效可调度性测试？
• RQ3 在何种条件下，一组间歇性DAG任务可保证在给定数量的处理器上实现EDF可调度？
• RQ4 前驱约束与部分并行性如何影响多任务环境下的最坏情况工作量与调度可行性？
• RQ5 能否对间歇性DAG任务的累积工作量进行有效的时间近似，以支持可扩展的可调度性分析？

主要发现

• EDF调度算法在多个间歇性DAG任务下具有 $2 - 1/m + \epsilon$ 的加速比界限，优于单任务情况下的2倍界限。
• 提出了一种伪多项式时间可调度性测试，其加速比界限为 $2 - 1/m + \epsilon$，可实现精确的可行性检查。
• 推导出EDF可调度性的多项式时间充分条件：若 $\sum_{T_i \leq D_k} \frac{\mathrm{vol}(G_i)}{T_i} + \sum_{T_i > D_k} \frac{\mathrm{vol}(G_i)}{D_k} \leq \frac{m+1/2}{3}$，则系统可调度。
• 当最长链长度 $\mathrm{len}(G_k) \leq D_k/3$ 时，任意区间 $[r_j, d_j)$ 中的空闲时间 $Y$ 受 $D_k/3$ 限制，这对充分条件的证明至关重要。
• 工作函数近似 $\hat{w}_i(t)$ 满足 $\frac{1}{1+\epsilon} \mathrm{work}_i(t) \leq \hat{w}_i(t) \leq \mathrm{work}_i(t)$，确保工作量估计误差有界。
• EDF在关键区间 $[r_j, d_j)$ 内完成的总工作量至少为 $\frac{2m+1}{3} D_k$，若充分条件成立，则该值超过所需工作量的上界，若EDF失败则导致矛盾。