[论文解读] Feasible Depth

David Doty, Philippe Moser|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2007

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 1

一句话总结

该论文通过有限状态和多项式时间深度的形式化，将Bennett的逻辑深度概念在计算复杂性理论中进行了形式化，证明了平凡序列和随机序列是浅层的，深层序列无法通过浅层序列高效生成（缓慢增长定律），且E类的停机问题类比是多项式时间深度的，从而通过统一的指数时间归约建立了一个广义的固有深层语言类。

ABSTRACT

This paper introduces two complexity-theoretic formulations of Bennett's logical depth: finite-state depth and polynomial-time depth. It is shown that for both formulations, trivial and random infinite sequences are shallow, and a slow growth law holds, implying that deep sequences cannot be created easily from shallow sequences. Furthermore, the E analogue of the halting language is shown to be polynomial-time deep, by proving a more general result: every language to which a nonnegligible subset of E can be reduced in uniform exponential time is polynomial-time deep.

研究动机与目标

• 通过有限状态和多项式时间的表述，在计算复杂性理论中形式化Bennett的逻辑深度概念。
• 证明在两种表述下，平凡和随机的无限序列均为浅层序列，以确保与深度直觉的一致性。
• 证明深度的缓慢增长定律，表明深层序列无法通过浅层序列的高效变换生成。
• 通过统一的指数时间归约，证明任何可从E的非可忽略子集归约而来的语言均为多项式时间深度，从而识别出一大类固有深层语言。
• 为逻辑深度提供一个复杂性理论基础，使其与可计算性和复杂性理论中的核心概念相联系。

提出的方法

• 将有限状态深度定义为有限自动机生成具有显著计算内容的序列所需的最短时间。
• 将多项式时间深度定义为确定性图灵机在相对其长度的最短时间内生成序列所需的时间。
• 应用缓慢增长定律，表明通过从浅层序列进行高效变换，序列的深度不会显著增加。
• 使用统一的指数时间归约，将E的非可忽略子集映射到目标语言，从而在多项式时间表述下确立其深度。
• 通过利用E的非可忽略子集存在此类归约的事实，证明E类停机语言的类比是多项式时间深度的。
• 证明语言的深度在统一归约下保持不变，从而实现将整个复杂性类分类为深层。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bennett的逻辑深度是否可以在有限状态和多项式时间复杂性类中实现有意义的形式化？
• RQ2 在所提出的复杂性理论深度表述下，平凡和随机的无限序列是否仍保持浅层？
• RQ3 在有限状态和多项式时间设置下，是否存在深度的缓慢增长定律，以防止通过浅层序列高效生成深层序列？
• RQ4 是否存在自然且非平凡的语言，在多项式时间表述下可被证明为深层？
• RQ5 能否通过统一的指数时间归约，证明E类停机语言的类比是多项式时间深度的？

主要发现

• 有限状态深度和多项式时间深度是与计算深度直觉一致的、良好定义的复杂性理论表述。
• 在两种表述下，平凡和随机的无限序列均为浅层序列，确认只有具有非平凡计算内容的序列才是深层的。
• 两种表述下均存在缓慢增长定律，意味着深层序列无法通过高效方式从浅层序列生成。
• E类停机语言的类比是多项式时间深度的，该结论通过统一指数时间归约的一般性结果得到证明。
• 任何可通过统一指数时间从E的非可忽略子集归约而来的语言，均为多项式时间深度，从而确立了一个广义的深层语言类。
• 结果表明，E类中存在深层语言，且在统一归约下具有鲁棒性，支持了固有复杂计算问题的存在。