[论文解读] Feasibly Reducing KAT Equations to KA Equations

James Worthington|ArXiv.org|Jan 15, 2008

Logic, programming, and type systems参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种从测试的克莱尼代数（Kleene Algebra with Tests, KAT）方程到标准克莱尼代数（Kleene Algebra, KA）方程的多项式时间归约，避免了先前方法中存在的指数级膨胀。通过使用矩阵表示将KAT项编码为有限自动机，并应用受控字符串代数技术，作者实现了一种可行且大小高效的转换，保持了等式有效性，从而实现了命题程序等价性和霍尔逻辑性质的高效验证。

ABSTRACT

Kleene algebra (KA) is the algebra of regular events. Familiar examples of Kleene algebras include regular sets, relational algebras, and trace algebras. A Kleene algebra with tests (KAT) is a Kleene algebra with an embedded Boolean subalgebra. The addition of tests allows one to encode { t while} programs as KAT terms, thus the equational theory of KAT can express (propositional) program equivalence. More complicated statements about programs can be expressed in the Hoare theory of KAT, which suffices to encode Propositional Hoare Logic. That the equational theory of KAT reduces to the equational theory of KA has been shown by Cohen et al. Unfortunately, their reduction involves an exponential blowup in the size of the terms involved. Here we give an alternate feasible reduction.

研究动机与目标

• 解决现有从KAT方程到KA方程归约中的指数级膨胀问题。
• 开发一种多项式时间、大小高效的KAT等式推理到KA的归约方法。
• 利用基于KA的证明系统，实现命题程序等价性和霍尔逻辑性质的实用验证。
• 证明KAT的霍尔理论可仅以多项式开销归约为其等式理论。
• 证明确定性while程序会产生具有稀疏可达状态的自动机，从而支持高效的等价性证明。

提出的方法

• 使用克莱尼代数上的矩阵表示，将KAT项编码为有限自动机。
• 利用受控字符串代数来建模KAT项的语义，并推导出等价的KA表达式。
• 应用KAT的连接与星号引理，构建复合项的转移矩阵。
• 通过布尔公理简化转移矩阵，生成最小化且不含ε转移的自动机。
• 通过较简单自动机的归纳组合构造KAT项的自动机，同时保持受控字符串语义。
• 对自动机应用子集构造法，以验证确定性，并确保仅可达状态参与等价性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 KAT的等式理论能否在不产生指数级膨胀的情况下归约为KA的等式理论？
• RQ2 将KAT等式蕴含归约为KA方程的计算复杂度是多少？
• RQ3 如何在保持语义等价性的前提下简化由KAT项构造的自动机？
• RQ4 KAT的霍尔理论能否被高效地归约为其等式理论？
• RQ5 确定性while程序是否会产生具有可支持多项式时间等价性检查结构的自动机？

主要发现

• 本文实现了从KAT方程到KA方程的可行归约，仅导致多项式大小增长，避免了先前方法的指数级膨胀。
• 该归约通过自动机构编码实现，使用矩阵表示和受控字符串代数，证明过程在PSPACE内生成。
• KAT的霍尔理论可高效地归约为其等式理论，仅导致项大小的常数级增长。
• 对于确定性while程序，所构造的自动机仅有一个初始状态，其发出的转移与任何受控字符串的第一个符号匹配，且可达状态稀疏。
• 由于自动机构造的结构性质，由大小为n和m的KAT项导出的自动机等价性证明可在n + m的多项式时间内生成。
• 该方法使得基于KA的证明系统能够高效验证命题程序等价性和霍尔逻辑性质。