[论文解读] Feedback control of twisted states in the Kuramoto model on nearest neighbor and complete simple graphs

Kazuyuki Yagasaki|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2026

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用 0

一句话总结

本文分析如何通过反馈控制在确定性最近邻和完全简单图上的 Kuramoto 模型中稳定扭曲态（包含相滞），通过推导极限连续性动力学并应用中心流形约简研究分岔与线性及三次反馈下的稳定性。数值仿真显示在合适的控制增益下存在稳定的调制扭曲态和振荡扭曲态。

ABSTRACT

We study feedback control of twisted states in the Kuramoto model (KM) of identical oscillators defined on deterministic nearest neighbor graphs containing complete simple ones when it may have phase-lag. Bifurcations of such twisted solutions in the continuum limit (CL) for the uncontrolled KM defined on nearest neighbor graphs that may be deterministic dense, random dense or random sparse were discussed very recently by using the center manifold reduction, which is a standard technique in dynamical systems theory. In this paper we analyze the stability and bifurcations of twisted solutions in the CL for the KM subjected to feedback control. In particular, it is shown that the twisted solutions exist and can be stabilized not only for nearest neighbor graphs but also for complete simple graphs. Moreover, the CL is shown to suffer bifurcations at which the twisted solution becomes unstable and a stable one-parameter family of modulated or oscillating twisted solutions is born, depending on whether the phase-lag is zero or not. We demonstrate the theoretical results by numerical simulations for the feedback controlled KM on deterministic nearest neighbor and complete simple graphs.

研究动机与目标

• 在带反馈控制的 Kuramoto 模型的极限连续性下研究扭曲态的稳定性与分岔。
• 证明扭曲态在最近邻图与完全简单图上均存在并可稳定。
• 刻画相滞与反馈增益如何影响分岔以及调制或振荡扭曲态的出现。
• 用确定性图拓扑的数值仿真来验证理论结果。

提出的方法

• 将 Kuramoto 模型写成含线性和立方反馈项及相滞的形式（式1.1）。
• 推导极限连续性（式1.10）及其扭曲解（式1.11）。
• 通过已知收敛性结果将离散网络与极限连续性联系起来（定理2.1–2.3）。
• 通过线性算子 𝔏 的特征值问题对扭曲解进行线性稳定性分析（第3节）。
• 应用中心流形约简在 b1 = b1q（q∈[4]）处分析分岔，得到简化动力学（第4节）。
• 在确定性最近邻与完全图上给出数值仿真以阐释理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最近邻与完全图上，带相滞的 Kuramoto 模型是否可通过线性与非线性反馈稳定扭曲态？
• RQ2 反馈增益 b1 与 b3 如何影响极限连续性下 q-扭曲解的线性稳定性与分岔结构？
• RQ3 在分岔点会出现何种调制或振荡扭曲态，且相滞 σ 如何影响它们？
• RQ4 极限连续性结果是否能准确预测在大但有限网络中的稳定性行为？

主要发现

• 极限连续性中存在扭曲解，且不仅在最近邻图，在完全简单图上也可稳定。
• 在 b1 = b1q 处发生分岔，扭曲解的稳定性发生变化，且根据 σ 的不同可以产生稳定的调制或振荡扭曲解。
• 当 σ = 0 时，若 b3 足够大且为正，则在 b1 < b1q 时出现一个稳定的一参数族的调制扭曲解。
• 当 σ ≠ 0 时，调制或振荡扭曲解的出现及稳定性取决于控制参数和相滞。
• 中心流形约简给出能刻画扭曲平衡点附近的局部分岔结构的降维动力学。
• 数值仿真在两类图的广泛 b1 范围内证实存在稳定的调制与振荡扭曲态。