[论文解读] Feedback Regularization and Geometric PID Control for Trajectory Tracking of Coupled Mechanical Systems: Hoop Robots on an Inclined Plane

T. W. U. Madhushani, D. H. S. Maithripala+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种坐标无关的几何PID控制框架，用于在欠驱动耦合机械系统（特别是斜面上的环形机器人）中实现轨迹跟踪。通过引入反馈正则化将系统转化为机械结构，并结合几何PID控制，该方法在存在恒定扰动和参数不确定性（包括未知斜面倾角）的情况下，实现了近乎半全局、局部指数跟踪。

ABSTRACT

This paper applies geometric PID control for asymptotic tracking of a desired trajectory by a hoop robot in the presence of disturbances and uncertainties. The hoop robot, consisting of a circular body rolling without slip along a one-dimensional surface, is a planar analog of a spherical robot. A variety of coupled mechanical system may be used to actuate the hoop robot. This paper specifically considers two different actuators, one a simple pendulum and the other an internal cart. The geometric PID controller requires the plant to be a mechanical system, and the hoop robot does not satisfy this condition. Therefore a geometric inner loop is presented that gives the hoop robot the required structure. This procedure is here referred to as feedback regularization. Feedback regularization--in contrast to feedback linearization--is coordinate independent, and hence reflects the fundamental system structure. Note also that the resulting mechanical system is nonlinear and underactuated. Subsequently, the geometric PID outer loop guarantees almost-semiglobal tracking with locally exponential convergence, and the integral action of the PID guarantees robustness to constant disturbances and parameter uncertainties, including constant inclination of the rolling surface. The complete tracking controller is the composition of the two coordinate-independent loops, and therefore is also coordinate independent.

研究动机与目标

• 为解决如环形机器人这类本质上非线性且缺乏完全驱动的欠驱动机械系统中的轨迹跟踪挑战。
• 克服几何PID控制通常需要机械系统结构这一限制，而环形机器人本身并不天然满足该条件。
• 通过控制设计中的积分作用，确保对恒定扰动和参数不确定性（包括未知表面倾角）的鲁棒性。
• 开发一种坐标无关的控制框架，以保持系统结构并避免坐标图册奇点。
• 在两种特定驱动机构（简单摆和内部小车）上验证该方法的有效性。

提出的方法

• 通过重新定义控制输入，应用反馈正则化将环形机器人转化为机械系统，确保系统满足几何控制所需的结构要求。
• 利用Levi-Civita联络进行速度微分，设计几何PID控制器，从而在黎曼流形上正确表述积分作用。
• 控制器被分解为两个坐标无关的环路：几何内环（反馈正则化）和外环（几何PID），用于轨迹跟踪。
• 采用基于李雅普诺夫的稳定性分析，利用复合能量型函数 $ W_s $ 证明跟踪误差的局部指数收敛至零。
• 分析考虑了由耦合和黎曼结构引起的三次和二次速度项，通过增益选择限制其影响。
• 选择足够大的PID增益，以确保 $ ho_{ ext{min}}(Q_s) $ 任意大，从而保证指数收敛和执行器速度的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何PID控制能否扩展至非完全驱动机械系统中的输出跟踪？
• RQ2 如何将非机械系统（如环形机器人）转化为适合几何控制的机械系统？
• RQ3 反馈正则化能否提供一种坐标无关的替代反馈线性化的控制设计方法？
• RQ4 在存在恒定扰动和参数不确定性的情况下，何种条件可确保近乎半全局、局部指数收敛？
• RQ5 控制器如何在存在非线性耦合与欠驱动的情况下，维持有界执行器速度并确保收敛？

主要发现

• 所提出的反馈正则化成功地将环形机器人转化为机械系统，使得几何控制技术得以应用。
• 几何PID控制器确保了跟踪误差的近乎半全局、局部指数收敛至零，即使存在有界参数不确定性与恒定扰动。
• PID控制器的积分作用提供了对恒定扰动（包括未知表面倾角）的鲁棒性，且无需事先知晓倾角信息。
• 可选择足够大的PID增益，使 $ ho_{ ext{min}}(Q_s) $ 任意大，从而保证指数收敛，并实现执行器速度的有界性。
• 在适当选择初始条件和增益的前提下，控制器可保持 $ ||v_a(t)|| < k_a $ 对所有 $ t > 0 $ 成立，确保稳定性与收敛性。
• 闭环系统收敛至满足 $ \dot{W}_s \equiv 0 $ 的最大不变集，该集合对应于期望的平衡点 $ (\bar{y}_0, 0) $，证实了渐近跟踪。