[论文解读] Feedback stabilization and boundary controllability of the Korteweg-de Vries equation on a star-shaped network

Kaïs Ammari, Emmanuelle Crépeau|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用 24

一句话总结

本论文研究了在具有 N 条边的星形网络上 Korteweg-de Vries（KdV）方程的反馈镇定与边界可控制性。论文建立了适定性，证明了耗散系统能量的指数衰减，并在非临界长度条件下，通过（N+1）个控制（位于外侧节点和中心节点）展示了系统的局部精确边界可控制性。

ABSTRACT

We propose a model using the Korteweg-de Vries $(KdV)$ equation on a finite star-shaped network. We first prove the well-posedness of the system and give some regularity results. Then we prove that the energy of the solutions of the dissipative system decays exponentially to zero when the time tends to infinity. Lastly we show an exact boundary controllability result.

研究动机与目标

• 对星形网络上的 Korteweg-de Vries（KdV）方程进行建模与分析，以应用于动脉血流动力学。
• 在该类网络上建立 KdV 系统的适定性与正则性，确保数学一致性。
• 在中心节点施加耗散边界条件时，证明系统能量的指数衰减。
• 通过（N+1）个边界控制实现对线性化与非线性 KdV 系统在该网络上的精确边界可控制性。

提出的方法

• 在具有 N 条边的星形网络上建立 KdV 方程，每条边长度有限 ℓj，采用在中心节点满足连续性与 Kirchhoff 类型条件的耦合 PDE 系统。
• 定义自然能量 E(t) = (1/2)∑‖uj(t,⋅)‖L²(0,ℓj)²，并证明其因耗散项 −(α − N/2)|u₁(t,0)|² 而非增。
• 应用伴随系统的可观测性不等式以证明可控制性，利用 Hilbert 唯一性方法（HUM）。
• 采用不动点论证，将线性化系统（LKdV）的局部可控制性结果推广至非线性 KdV 系统。
• 施加边界条件：在外侧节点采用零 Dirichlet 与 Neumann 条件，在中心节点采用涉及二阶导数和的非线性或线性条件。
• 要求网络长度非临界，即临界长度集合 𝒩 中至多有一条边的长度属于该集合，以确保可观测性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Korteweg-de Vries 方程在有限边构成的星形网络上是否适定且具有正则性？
• RQ2 在中心节点施加耗散边界条件时，星形网络上 KdV 系统的能量是否指数衰减？
• RQ3 线性化 KdV 系统在星形网络上是否可通过外侧节点与中心节点的边界控制实现精确可控制性？
• RQ4 能否将局部精确可控制性结果从线性系统推广至相同网络结构上的非线性 KdV 系统？

主要发现

• 在初始数据适切的条件下，星形网络上的 KdV 系统在空间 L²(𝒯) 中是适定的，且解具有足够的正则性。
• 当 α > N/2 时，耗散系统的能量 E(t) 随 t → ∞ 指数衰减至零。
• 伴随系统满足可观测性不等式：‖φᵀ‖²_{L²(𝒯)} ≤ C(∑‖∂ₓφⱼ(⋅,ℓⱼ)‖²_{L²(0,T)} + ∫₀ᵀ φ₁²(t,0) dt)，对任意 T > 0 及非临界长度成立。
• 当至多一条边长度为临界长度时，线性化系统（LKdV_control）可实现精确边界可控制性。
• 在原点附近的小邻域内，非线性 KdV 系统（KdV_control）的局部精确可控制性得以建立，初始状态与目标状态均属于 L²(𝒯) 且范数较小。
• 可控制性结果依赖于（N+1）个控制：中心节点一个，每个外侧节点一个，未来工作可考虑减少控制数量。