[论文解读] Feedback stabilization of dynamical systems with switched delays

Raphaël M. Jungers, Alessandro D’Innocenzo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文提出一种切换系统框架，用于建模和分析由于多跳无线网络引起的时变延迟下离散时间线性系统的反馈镇定问题。研究表明，依赖延迟和不依赖延迟的控制器均可建模为切换系统，证明了稳定性验证问题是NP难的，并提出一种具有任意精度的近似稳定性分析算法方法，揭示了在切换动态下控制器综合的新设计挑战。

ABSTRACT

We analyze a classification of two main families of controllers that are of interest when the feedback loop is subject to switching propagation delays due to routing via a wireless multi-hop communication network. We show that we can cast this problem as a subclass of classical switching systems, which is a non-trivial generalization of classical LTI systems with timevarying delays. We consider both cases where delay-dependent and delay independent controllers are used, and show that both can be modeled as switching systems with unconstrained switchings. We provide NP-hardness results for the stability verification problem, and propose a general methodology for approximate stability analysis with arbitrary precision. We finally give evidence that non-trivial design problems arise for which new algorithmic methods are needed.

研究动机与目标

• 将具有切换延迟的无线网络控制系统建模为切换系统，捕捉标准时变延迟模型之外的路由引起的动态特性。
• 分析在切换延迟下线性离散时间系统的稳定性，区分依赖延迟与不依赖延迟的控制器框架。
• 确立稳定性验证问题的计算复杂度，证明其在一般情况下为NP难。
• 开发一种具有任意精度的近似稳定性分析算法程序，实现实际验证。
• 识别出需要新算法方法的非平凡设计问题，特别是在不依赖延迟控制器的情况下。

提出的方法

• 通过包含当前和过去状态的状态向量，将系统重新表述为切换系统，从而实现对可变延迟效应的建模。
• 对于依赖延迟的控制器，控制器利用切换信号的知识并存储过去的控制输出，以计算当前的控制动作。
• 对于不依赖延迟的控制器，控制器在不了解延迟的情况下运行，依赖对过去状态的记忆来稳定系统。
• 系统动态由切换矩阵 Mσ(t) 表示，其中切换信号 σ(t) 对应于具有不同延迟的不同路由路径。
• 使用三维状态向量来追踪 x(t−1)、x(t) 和 u1(t)，从而精确表示切换延迟动态。
• 使用切换矩阵的联合谱半径（JSR）来评估稳定性，通过JSR工具箱进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不依赖延迟控制器框架下，具有切换延迟的线性反馈系统在何种条件下可镇定？
• RQ2 此类系统的稳定性验证问题是否为NP难？能否以任意精度进行近似？
• RQ3 在一维情况下，是否存在特定参数值（如 a, b, D），使得存在稳定的不依赖延迟控制器？
• RQ4 信号保持策略的选择（如零保持与保持）如何影响具有间歇反馈系统的可控制性和稳定性？
• RQ5 当延迟呈概率分布时，能否应用凸优化技术来分析几乎必然稳定性？

主要发现

• 具有切换延迟的系统的稳定性验证问题是NP难的，表明一般情况下不存在高效的精确算法。
• 当 a > 3 时，无论控制器增益如何，系统均不稳定，因为切换矩阵 M1 的迹至少为 3。
• 当 a < 1 时，系统无需任何控制器即可镇定，因为开环系统本身已稳定。
• 当 a = 1.1 时，即使无记忆（k1 = 0），也存在稳定控制器，例如 k2 = -0.5，此时切换系统稳定。
• 当 a = 2 时，稳定控制器需要非零记忆（k1 ≠ 0），例如 k1 = 0.4 且 k2 = -1.5，因为当 k1 = 0 时，2×2 子系统变得不稳定。
• 对于稳定控制器，切换矩阵 {M0, M1} 的联合谱半径小于 1，通过 JSR 工具箱的数值验证确认了稳定性。