[论文解读] Feedback Stabilization of the Two-Dimensional Navier-Stokes Equations by Value Function Approximation

Tobias Breiten, Karl Kunisch+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 49被引用 20

一句话总结

本文建立了二维Navier-Stokes方程在稳态附近的无限时域最优控制问题的值函数光滑性，推导其泰勒展开以构造多项式反馈律，并证明了所得稳定控制与闭环系统的收敛速率。值函数的导数满足代数Riccati方程（二阶）和广义Lyapunov方程（高阶），从而可通过近似实现高效的反馈稳定化。

ABSTRACT

The value function associated with an optimal control problem subject to the Navier-Stokes equations in dimension two is analyzed. Its smoothness is established around a steady state, moreover, its derivatives are shown to satisfy a Riccati equation at the order two and generalized Lyapunov equations at the higher orders. An approximation of the optimal feedback law is then derived from the Taylor expansion of the value function. A convergence rate for the resulting controls and closed-loop systems is demonstrated.

研究动机与目标

• 分析二维Navier-Stokes方程无限时域最优控制问题的值函数正则性。
• 以经典意义而非仅粘性意义，刻画值函数为Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的解。
• 通过在稳态附近对值函数进行泰勒展开，推导多项式反馈律。
• 建立所得反馈控制及其对应闭环系统的收敛速率。
• 证明值函数的二阶导数满足代数Riccati方程，而高阶导数满足广义Lyapunov方程。

提出的方法

• 证明值函数在稳态邻域内光滑，从而可经典求解HJB方程。
• 证明值函数的二阶导数满足代数Riccati方程。
• 证明高阶导数满足由Navier-Stokes方程非线性结构导出的广义Lyapunov方程。
• 通过将值函数在给定阶数内进行泰勒展开，构造反馈控制律。
• 利用针对Navier-Stokes方程非线性项量身定制的专门泛函分析估计，证明闭环系统的适定性。
• 基于值函数近似误差，推导反馈控制及所得闭环系统的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维Navier-Stokes方程无限时域最优控制问题的值函数在稳态附近是否光滑？
• RQ2 值函数的导数能否被表征为Riccati方程与广义Lyapunov方程的解？
• RQ3 对值函数进行泰勒展开是否能产生具有可量化收敛速率的稳定反馈律？
• RQ4 Navier-Stokes方程中的非线性项如何影响高阶导数广义Lyapunov方程的结构？
• RQ5 当通过泰勒展开逼近值函数时，反馈控制与闭环系统的收敛速率是多少？

主要发现

• 值函数在稳态邻域内光滑，且HJB方程以经典意义成立，而不仅限于粘性意义。
• 值函数的二阶导数满足代数Riccati方程。
• 高阶导数满足与二维Navier-Stokes方程非线性结构相关的特定广义Lyapunov方程。
• 通过值函数泰勒展开导出多项式反馈律，提供了一种构造性反馈稳定化方法。
• 所得反馈控制可稳定系统，且对控制与闭环系统均建立了收敛速率。
• 在小初始扰动下，闭环系统的适定性得到保证，且控制通过有界线性算子作用于状态。