[论文解读] Feedback Stabilization over Commutative Rings: Further study of the coordinate-free approach

Kazuyoshi Mori, Kenichi Abe|ArXiv.org|Feb 22, 1999

Advanced Topics in Algebra被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对交换环上MIMO系统的无坐标反馈镇定方法，通过引入两种准则对Sule的结果进行推广：一种基于由因果系统生成的投影模，另一种基于广义初等因子。该方法在不依赖互质因式分解或严格因果性假设的前提下，建立了镇定性条件，并将其应用于离散有限时延系统。

ABSTRACT

This paper is concerned with the coordinate-free approach to control systems. The coordinate-free approach is a factorization approach but does not require the coprime factorizations of the plant. We present two criteria for feedback stabilizability for MIMO systems in which transfer functions belong to the total rings of fractions of commutative rings. Both of them are generalizations of Sule's results in [SIAM J. Control Optim., 32-6, 1675-1695(1994)]. The first criterion is expressed in terms of modules generated from a causal plant and does not require the plant to be strictly causal. It shows that if the plant is stabilizable, the modules are projective. The other criterion is expressed in terms of ideals called generalized elementary factors. This gives the stabilizability of a causal plant in terms of the coprimeness of the generalized elementary factors. As an example, a discrete finite-time delay system is considered.

研究动机与目标

• 通过无坐标框架，推广Sule在交换环上MIMO系统的反馈镇定性结果。
• 消除传统因式分解方法中对互质因式分解的依赖，解决其关键局限性。
• 为因果与非严格因果系统开发适用的镇定性准则。
• 引入广义初等因子作为通过互质性条件评估镇定性的工具。
• 通过离散有限时延系统实例，展示该框架的适用性。

提出的方法

• 基于植物传递函数在总分式环上生成的模的投影性质，表述反馈镇定性。
• 引入广义初等因子，作为从植物传递函数矩阵导出的理想。
• 建立基于这些广义初等因子互质性的镇定性准则。
• 应用模论方法处理非严格因果系统，避免对严格因果性的假设。
• 利用交换环及其总分式环的代数结构，推广控制理论结果。
• 采用无坐标框架，避免显式的状态空间表示或参数化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖植物互质因式分解的前提下表征反馈镇定性？
• RQ2 由植物生成的模需满足何种代数条件，才能确保在交换环上的镇定性？
• RQ3 广义初等因子的概念能否用于无坐标设定下确定镇定性？
• RQ4 所提出的框架如何将Sule的结果推广至非严格因果MIMO系统？
• RQ5 投影模在表征交换环上可镇定系统时起何作用？

主要发现

• 当且仅当由其传递函数生成的模在总分式环上是投影模时，因果MIMO系统是反馈镇定的。
• 因果植物的镇定性等价于其广义初等因子的互质性。
• 所提出的准则通过消除对互质因式分解和严格因果性的要求，推广了Sule的结果。
• 该框架适用于具有有限时延的系统，如离散时间实例所示。
• 无坐标方法通过模论与理想理论条件，提供了一套统一的代数镇定性表征。
• 结果适用于交换环的总分式环，其适用范围超越多项式或有理函数环。