[论文解读] Fekete-Szego Inequality For Analytic And Bi-univalent Functions Subordinate To (p; q)-Lucas Polynomials

Ala Amourah|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Analytic and geometric function theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文引入了一类新的解析且双从属函数子类，其亚纯性基于 (p,q)-Lucas 多项式，并解决了该类函数的 Fekete-Szegő 问题。通过利用 (p,q)-Lucas 多项式的递推关系所得的系数界，并应用亚纯性原理，作者建立了泛函 |a₃ − υa₂²| 的精确不等式，推广了已知的双星形函数结果，并将系数估计扩展至具有参数化微分亚纯性的更广泛函数类。

ABSTRACT

In the present paper, a subclass of analytic and bi-univalent functions by means of (p; q)- Lucas polynomials is introduced. Certain coefficients bounds for functions belonging to this subclass are obtained. Furthermore, the Fekete-Szego problem for this subclass is solved.

研究动机与目标

• 通过 (p,q)-Lucas 多项式定义一类新的解析且双从属函数子类。
• 为该新类中 Taylor-Maclaurin 系数 a₂ 和 a₃ 推导出精确的系数界。
• 解决该子类中函数的 Fekete-Szegő 问题，提供 |a₃ − υa₂²| 的估计。
• 通过引入 (p,q)-Lucas 多项式亚纯性，推广已知的双星形函数与双凸函数结果。

提出的方法

• 通过涉及 (p,q)-Lucas 多项式 Lp,q,k(x) 的微分亚纯性条件定义类 𝔅Σμ(α,λ,δ)。
• 利用反函数展开与亚纯性技术，推导出 a₂ 和 a₃ 的系数界。
• 通过将表达式 a₃ − υa₂² 变换为表示 f 与 f⁻¹ 系数的变量 r₂, s₂, r₁, s₁，分析该表达式，建立 Fekete-Szegő 不等式。
• 解法依赖于 (p,q)-Lucas 多项式的递推关系与生成函数，其中 Lp,q,1(x) = p(x) 且 Lp,q,2(x) = p²(x) + 2q(x)。
• 通过根据 |φ(υ,x)| 相对于 1/(2(μ + 2λ + 2ξδ)) 的值将解划分为不同情形，推导出系数界。
• 通过设定 μ = δ = 0, λ = 1，得到特例，恢复已知的双星形函数结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于亚纯于 (p,q)-Lucas 多项式的解析且双从属函数，其第二与第三 Taylor-Maclaurin 系数的精确系数界是什么？
• RQ2 该新类中函数的 Fekete-Szegő 泛函 |a₃ − υa₂²| 表现如何？
• RQ3 参数 μ, λ, δ 以及 (p,q)-Lucas 多项式结构对系数估计有何影响？
• RQ4 所推导的不等式如何推广已知的双星形函数与双凸函数结果？
• RQ5 当 υ = 1 或 μ = δ = 0, λ = 1 时，Fekete-Szegő 不等式的极限情形是什么？

主要发现

• |a₂| 的精确上界为 2|p(x)|√|p(x)| / √| (μ+2λ)[1+μ+12δ/(2λ+1)]p²(x) − 2(μ+λ+2ξδ)²(p²(x)+2q(x)) |。
• |a₃| 的界为 p²(x)/ (μ+λ+2ξδ)² + |p(x)| / (μ+2λ+2ξδ)。
• 对于 Fekete-Szegő 泛函，当 |υ−1| ≤ |Υ(x)| / [2(μ+2λ+2ξδ)] 时，有 |a₃ − υa₂²| ≤ |p(x)| / (μ+2λ+2ξδ)，其中 Υ(x) 在文中定义。
• 当 |υ−1| ≥ |Υ(x)| / [2(μ+2λ+2ξδ)] 时，界变为 2|p(x)|³|1−υ| / |p(x)Υ(x)|。
• 在特殊情形 μ = δ = 0, λ = 1 时，若 |υ−1| ≤ |q(x)/p(x)|，则界简化为 |a₃ − υa₂²| ≤ |p(x)|；否则为 2|p(x)|³|1−υ| / |4q(x)|。
• 当 υ = 1 时，界简化为 |a₃ − a₂²| ≤ |p(x)| / (μ+2λ+2ξδ)，该结果推广了双从属函数的经典 Fekete-Szegő 不等式。