[论文解读] Feldman-Katok pseudometric and the GIKN construction of nonhyperbolic ergodic measures

Dominik Kwietniak, Martha Łącka|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 14

一句话总结

本文引入了Feldman-Katok伪度量 $\bar{F}_K$ 以分析非双曲遍历测度的GIKN构造。证明了所有此类测度均为松散Kronecker测度（等价于标准测度或零熵松散Bernoulli测度），解决了关于其熵的长期悬而未决的问题，并提供了极限测度结构的拓扑表征。

ABSTRACT

The GIKN construction was introduced by Gorodetski, Ilyashenko, Kleptsyn, and Nalsky in [Functional Analysis and its Applications, 39 (2005), 21--30]. It gives a nonhyperbolic ergodic measure which is a weak$^*$ limit of a special sequence of measures supported on periodic orbits. This method was later adapted by numerous authors and provided examples of nonhyperbolic invariant measures in various settings. We prove that the result of the GIKN construction is always a loosely Kronecker measure in the sense of Ornstein, Rudolph, and Weiss (equivalently, standard measure in the sense of Katok, another name is loosely Bernoulli measure with zero entropy). For a proof we introduce and study the Feldman-Katok pseudometric $\bar{F_{K}}$. The pseudodistance $\bar{F_{K}}$ is a topological counterpart of the $\bar f$ metric for finite-state stationary stochastic processes introduced by Feldman and, independently, by Katok, later developed by Ornstein, Rudolph, and Weiss. We show that every measure given by the GIKN construction is the $\bar{F_{K}}$-limit of a sequence of periodic measures. On the other hand we prove that a measure which is the $\bar{F_{K}}$-limit of a sequence of ergodic measures is ergodic and its entropy is smaller or equal than the lower limit of entropies of measures in the sequence. Furthermore we demonstrate that $\bar{F_{K}}$-Cauchy sequence of periodic measures tends in the weak$^*$ topology either to a periodic measure or to a loosely Kronecker measure.

研究动机与目标

• 为解决GIKN构造所产生的测度是否具有零熵这一开放问题。
• 表征GIKN构造中周期测度弱*极限的拓扑与测度论性质。
• 引入并研究Feldman-Katok伪度量 $\bar{F}_K$，作为有限状态过程 $\bar{f}$-度量的拓扑对应物。
• 确立GIKN极限测度为遍历测度且具有零熵，无论其底层动力系统为何。
• 澄清 $\bar{F}_K$-收敛与弱*收敛在遍历测度背景下的关系。

提出的方法

• 将Feldman-Katok伪度量 $\bar{F}_K$ 引入为连续动力系统在紧致度量空间上的 $\bar{f}$-度量的拓扑类比。
• 证明：若一个测度是某列遍历测度关于 $\bar{F}_K$ 的极限，则该测度本身也是遍历的，且其熵不超过逼近测度熵的极限下确界。
• 证明：周期测度的 $\bar{F}_K$-柯西列弱*收敛于周期测度或松散Kronecker测度。
• 利用 $\bar{F}_K$-拓扑分析GIKN构造，表明极限测度是 $\bar{F}_K$-距离递减的周期测度列的 $\bar{F}_K$-极限。
• 应用Ornstein、Rudolph与Weiss关于标准（松散Kronecker）测度的结果，得出GIKN极限为标准测度，因此具有零熵。
• 利用 $\bar{f}$-度量理论及其向连续系统扩展的结果，将熵与同构类型的结果转移至 $\bar{F}_K$ 框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 GIKN构造是否总是产生零熵测度？
• RQ2 GIKN构造中弱*极限的精确拓扑与测度论性质是什么？
• RQ3 Feldman-Katok伪度量 $\bar{F}_K$ 与 $\bar{f}$-度量及标准测度理论之间有何关系？
• RQ4 $\bar{F}_K$-拓扑能否用于表征周期逼近极限中的遍历性与熵？
• RQ5 在何种条件下，周期测度列会以 $\bar{F}_K$-距离收敛于非周期、非双曲的遍历测度？

主要发现

• GIKN构造始终产生松散Kronecker测度，其等价于Katok意义下的标准测度，且具有零熵。
• GIKN构造产生的所有测度均为遍历测度，且是某列周期测度关于 $\bar{F}_K$ 的极限。
• 若一个测度是某列遍历测度关于 $\bar{F}_K$ 的极限，则该测度本身也是遍历的，且其熵不超过逼近测度熵的极限下确界。
• 周期测度的 $\bar{F}_K$-柯西列弱*收敛于周期测度或松散Kronecker测度。
• GIKN极限测度的支集为拓扑极限 $\bigcap_{k=1}^\infty \overline{\bigcup_{n\geq k} \Gamma_n}$，其中 $\Gamma_n$ 为构造中的周期轨线。
• 本研究结果强化了先前工作，如[10, 定理B]，证实所得测度不仅非双曲，而且是遍历的且具有零熵。