[论文解读] FEM-analysis on graded meshes for turning point problems exhibiting an interior layer

Simon Becher|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文针对具有内部转向点和尖点型内层的奇异摄动两点边值问题，在层适应的 graded 网格上进行了有限元分析。在 Liseikin 的 graded 网格上使用高阶有限元，作者证明了能量范数下的 $\varepsilon$-一致误差估计，并对线性元得到了 $L^2$-范数下最优的 $O(N^{-2})$ 收敛率，建立了强边界层和内层问题下鲁棒的数值稳定性和精度。

ABSTRACT

We consider singularly perturbed boundary value problems with a simple interior turning point whose solutions exhibit an interior layer. These problems are discretised using higher order finite elements on layer-adapted graded meshes proposed by Liseikin. We prove $ε$-uniform error estimates in the energy norm. Furthermore, for linear elements we are able to prove optimal order $ε$-uniform convergence in the $L^2$-norm on these graded meshes.

研究动机与目标

• 解决具有简单内部转向点和尖点型内层的奇异摄动两点边值问题的数值挑战。
• 在层适应的 graded 网格上发展并分析一种有限元方法，确保收敛性不依赖于摄动参数 $\varepsilon$。
• 通过证明在 graded 网格上高阶有限元的 $\varepsilon$-一致收敛性，将现有结果从线性有限元扩展至更高阶。
• 在这些网格上建立线性有限元的最优 $L^2$-范数误差估计，确认理论收敛速率。

提出的方法

• 本研究采用有限元法（FEM），在 Liseikin 的网格生成函数生成的 graded 网格上使用高阶拉格朗日元，该函数旨在解析内层。
• 通过变换 $\varphi(\xi,\varepsilon)$ 构建网格，确保在转向点 $x_0 = 0$ 附近密集聚集，分级参数 $\alpha \leq \lambda$ 以匹配层厚度。
• 分析使用加权能量范数 $|||\cdot|||_{\varepsilon} = \left(\varepsilon|\cdot|_1^2 + \|\cdot\|^2\right)^{1/2}$ 衡量误差，并证明 $\varepsilon$-一致收敛性。
• 对于线性元，推导出超接近性结果，并通过后处理和插值估计证明在 $L^2$-范数下达到最优的 $O(N^{-2})$ 收敛率。
• 关键技术工具包括网格依赖的逆不等式、插值误差估计，以及对网格比和网格函数二阶导数的界。
• 理论分析依赖于等分布原理和基于主要量的层阻尼变换，以控制解的导数和网格分级。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Liseikin 的 graded 网格上使用高阶有限元，能否实现具有内部转向点和尖点型层的奇异摄动问题的 $\varepsilon$-一致收敛？
• RQ2 在线性有限元的这些 graded 网格上，$L^2$-范数下的最优收敛率是多少？
• RQ3 网格分级参数 $\alpha$ 和层参数 $\lambda$ 如何影响收敛行为？
• RQ4 能否利用超接近性性质推导出线性元在 $L^2$-范数下的最优误差估计？

主要发现

• 在 Liseikin 的 graded 网格上使用高阶元的有限元方法，在能量范数下实现了 $O(N^{-k})$ 阶的 $\varepsilon$-一致收敛性，其中 $k$ 为元的阶数。
• 对于线性元（$k=1$），该方法在 $L^2$-范数下实现了最优的 $\varepsilon$-一致收敛率 $O(N^{-2})$。
• 误差界与摄动参数 $\varepsilon$ 无关，证实了在 $\varepsilon$ 较小时的鲁棒性。
• 分析确认，为保持最优收敛性，网格分级参数 $\alpha$ 必须满足 $\alpha \leq \lambda$。
• 数值实验验证了理论收敛速率，结果与预测的量级一致。
• 超接近性结果使得通过将离散解与精确解的插值关联，推导出最优的 $L^2$-范数误差估计成为可能。