[论文解读] fenics-optim -- Convex optimization interface in FEniCS

Jérémy Bleyer|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2020

Embedded Systems Design Techniques被引用 6

一句话总结

该论文介绍了 fenics-optim，一个利用锥规划与有限元空间离散化，自动实现 FEniCS 中凸变分问题公式化与求解的 Python 包。该工具使用户仅用几行代码即可表达复杂的 PDE 约束优化问题，并通过 Mosek 内点求解器实现高效求解，从而在图像处理到计算力学等应用中均实现了高精度与可扩展性。

ABSTRACT

<strong>fenics-optim</strong> is a Python library that aims at providing a simple user interface in FEniCS for solving convex optimization problems. In particular, it relies on the <strong>Mosek</strong> mathematical programming library. In particular, Mosek is a state-of-the art solver for linear programming (LP), convex quadratic programming (QP), second-order conic programming (SOCP) and semi-definite programming (SDP). The project can be accessed at https://gitlab.enpc.fr/navier-fenics/fenics-optim

研究动机与目标

• 为解决在科学计算中，特别是图像处理与计算力学领域，具有非光滑项的凸变分问题的公式化与求解挑战。
• 提供一个统一的高层接口，模仿优化问题的连续数学公式化表达，降低实现复杂度。
• 在单一框架内，自动实现包括标准拉格朗日元、DG 元以及 H(div)/H(curl) 元在内的多种单元类型的有限元空间离散化。
• 利用 Mosek 的先进内点法，实现大规模凸问题的高效数值求解，尤其适用于具有非光滑项的问题。
• 弥合 FEniCS 中符号化的 PDE 公式化与现代锥优化之间的鸿沟，同时支持光滑与非光滑凸泛函。

提出的方法

• 利用 FEniCS 的统一形式语言（UFL）公式化凸变分问题，并在锥规划框架内表示凸函数——特别是非光滑函数。
• 通过 FEniCS 的有限元能力进行问题离散化，包括通过混合有限元空间支持混合与混合-杂交格式。
• 采用 Mosek 作为内点求解器，实现多项式时间内高精度求解，尤其适用于具有复杂约束与非光滑项的问题。
• 引入一种块结构优化框架，其中变量与约束以块的形式定义，支持模块化与可扩展的问题构建。
• 使用基于积分的函数空间（如积分元）来点态表示辅助变量（如拉格朗日乘子与对偶变量），以支持锥公式中的点态约束。
• 通过基于函数的约束定义支持等式与不等式约束，并利用 UFL 与 FEniCS 的形式编译器自动组装线性形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够通过高层有限元框架，仅用极少用户代码实现图像处理与固体力学中出现的凸变分问题的公式化与求解？
• RQ2 在有限元框架中，如何高效地表示与求解非光滑凸项（如总变差、L1 范数）？
• RQ3 将 FEniCS 的有限元能力与 Mosek 的内点求解器集成，能在多大程度上提升大规模凸 PDE 约束问题求解的精度与效率？
• RQ4 是否可以设计一种模块化、块结构的优化接口，以支持具有混合有限元的复杂多场变分问题？
• RQ5 与图像处理中常用的首阶方法相比，该框架在性能与鲁棒性方面表现如何，尤其是在具有非光滑目标函数的问题中？

主要发现

• fenics-optim 包允许用户仅用几行 Python 代码即可实现复杂凸变分问题的公式化，其形式与连续数学公式高度一致。
• 该框架支持广泛的有限元类型，包括混合与杂交元，并可自动处理涉及非光滑项的问题的离散化。
• 通过 Mosek 的内点法，该方法在多项式时间内实现高精度求解，其解的精度优于首阶方法。
• 对非光滑项（如障碍问题中的旋转二次锥）的锥重构，使得现代锥求解器能够高效且稳定地求解。
• 块结构约束公式化支持模块化与可扩展的问题构建，通过 FEniCS 的形式编译器自动处理稀疏性与矩阵组装。
• 通过基于积分元显式构造障碍问题，并结合锥约束，展示了框架在弱形式下处理点态约束的能力，实现了高精度与鲁棒的求解。