[论文解读] Fermi isospectrality for discrete periodic Schrodinger operators

Wencai Liu|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文建立了在 $\bbZ^d$（$d \geq 3$）上离散周期薛定谔算子的刚性定理，证明了费米同谱性——在固定能量下费米曲面相等——意味着势能的结构性约束：若势能 $V$ 与可分势能 $Y$ 费米同谱，则 $V$ 必须也是可分的；若 $V$ 与 $Y$ 均为可分势能，则其分量彼此为弗洛quet同谱；若 $V$ 与零势能费米同谱，则 $V$ 必须恒为零。这些结果在离散设定下解决了反谱问题。

ABSTRACT

Let $Γ=q_1\mathbb{Z}\oplus q_2 \mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus q_d\mathbb{Z}$, where $q_l\in \mathbb{Z}_+$, $l=1,2,\cdots,d$. Let $Δ+V$ be the discrete Schrödinger operator, where $Δ$ is the discrete Laplacian on $\mathbb{Z}^d$ and the potential $V:\mathbb{Z}^d o \mathbb{R}$ is $Γ$-periodic. We prove three rigidity theorems for discrete periodic Schrödinger operators in any dimension $d\geq 3$: (1) if at some energy level, Fermi varieties of the $Γ$-periodic potential $V$ and the $Γ$-periodic potential $Y$ are the same (this feature is referred to as {\it Fermi isospectrality} of $V$ and $Y$), and $Y $ is a separable function, then $V$ is separable; (2) if potentials $V$ and $Y$ are Fermi isospectral and both $V=\bigoplus_{j=1}^rV_j$ and $Y=\bigoplus_{j=1}^r Y_j$ are separable functions, then, up to a constant, lower dimensional decompositions $V_j$ and $Y_j$ are Floquet isospectral, $j=1,2,\cdots,r$; (3) if a potential $V$ and the zero potential are Fermi isospectral, then $V$ is zero. In particular, all conclusions in (1), (2) and (3) hold if we replace the assumption "Fermi isospectrality" with a stronger assumption "Floquet isospectrality".

研究动机与目标

• 在维度 $d \geq 3$ 的离散周期薛定谔算子中，利用费米同谱性解决反谱问题。
• 确定两个势能的费米同谱性是否意味着结构性等价，如可分性或分量意义上的弗洛quet同谱性。
• 证明与零势能的费米同谱性强制势能恒为零。
• 将连续情形下的已知刚性结果推广至离散设定，特别是针对可分及完全可分势能。
• 建立弗洛quet同谱性蕴含费米同谱性，且更强条件可得出相同的刚性结论。

提出的方法

• 在 $\ell^2(\bbZ^d)$ 上定义离散薛定谔算子 $H_0 = \Delta + V$，其中 $V$ 是 $\Gamma$-周期的，$\Gamma = q_1\bbZ \oplus \cdots \oplus q_d\bbZ$，$q_l \in \bbZ_+$。
• 利用弗洛quet-布洛赫分解，定义具有准周期边界条件的算子 $D_V(k)$，并将费米曲面 $F_\lambda(V)$ 定义为满足 $\lambda$ 是 $D_V(k)$ 的特征值的所有 $k \in \bbC^d$ 的集合。
• 引入费米同谱性的概念：存在某个 $\lambda_0 \in \bbC$，使得 $F_{\lambda_0}(V) = F_{\lambda_0}(Y)$。
• 证明：若 $V$ 与 $Y$ 费米同谱且 $Y$ 可分，则 $V$ 必须也可分，利用解析延拓与特征多项式唯一分解。
• 对于可分势能 $V = \bigoplus_{j=1}^r V_j$，$Y = \bigoplus_{j=1}^r Y_j$，通过特征多项式中特征值分支的渐近分析与系数比较，证明费米同谱性意味着每对 $(V_j, Y_j)$ 均为弗洛quet同谱。
• 通过特征多项式 $\tilde{\mathcal{P}}_V(z,\lambda)$ 中的系数比较，证明若 $V$ 与零势能费米同谱，则 $V$ 的所有傅里叶系数均为零，从而推出 $V \equiv 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 若两个 $\Gamma$-周期势能 $V$ 与 $Y$ 费米同谱且 $Y$ 可分，则 $V$ 是否也必须可分？
• RQ2 若 $V$ 与 $Y$ 均为可分且费米同谱，则其低维分量 $V_j$ 与 $Y_j$ 是否为弗洛quet同谱？
• RQ3 若势能 $V$ 与零势能费米同谱，则 $V$ 是否必须恒为零？
• RQ4 费米同谱性是否在离散周期薛定谔算子设定中蕴含与弗洛quet同谱性相同的结构性约束？
• RQ5 在弱于完整弗洛quet同谱性的假设下，是否可在离散情形中建立刚性结果？

主要发现

• 若 $V$ 与 $Y$ 费米同谱且 $Y$ 可分，则 $V$ 必须也可分，即使 $V$ 事先未假设为可分。
• 若 $V = \bigoplus_{j=1}^r V_j$ 与 $Y = \bigoplus_{j=1}^r Y_j$ 均为可分且费米同谱，则对每个 $j$，势能 $V_j$ 与 $Y_j$ 均为弗洛quet同谱（至多相差一个常数平移）。
• 若 $V$ 与零势能费米同谱，则 $V \equiv 0$，在离散设定中证明了一个强刚性结果。
• 这些结论在较弱的费米同谱性假设下成立，若假设更强的弗洛quet同谱性，结论亦相同。
• 证明依赖于特征值分支 $\lambda^l(z_d)$ 在 $|z_d| \to \infty$ 时的渐近分析，表明主导行为决定了势能的结构。
• 在特征多项式 $\tilde{\mathcal{P}}_V(z,\lambda)$ 中比较系数——特别是 $\lambda^{Q_1-1}$ 与 $\lambda^{Q_1-2}$ 的系数——可推出：当 $V$ 与零势能费米同谱时，必有 $V \equiv 0$。