[论文解读] Fermion Doubling in Loop Quantum Gravity

Jacob L. Barnett, Lee Smolin|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2015

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 34被引用 3

一句话总结

该论文通过在基于晶格的量子引力背景下的Born-Oppenheimer近似，证明了环形量子引力（LQG）由于其离散的空间结构而存在费米子加倍问题。通过将低能费米子谱映射到晶格 gauge 理论，作者应用Nielsen-Ninomiya无解定理，证明了左手和右手费米子必须成对出现，这意味着规范对称性在无费米子加倍的情况下无法保持——这是在LQG中实现手征费米子的根本障碍。

ABSTRACT

In this paper, we show that the Hamiltonian approach to loop quantum gravity has a fermion doubling problem. To obtain this result, we couple loop quantum gravity to a free massless scalar and a chiral fermion field, gauge fixing the many fingered time gauge invariance by interpreting the scalar field as a physical clock. We expand around a quantum gravity state based on a regular lattice and consider the limit where the bare cosmological constant is large but the fermonic excitations have energies low in Planck units. We then make the case for identifying the energy spectrum in this approximation with that of a model of lattice fermion theory which is known to double.

研究动机与目标

• 研究环量子引力（LQG）是否因其离散的空间结构而存在费米子加倍问题。
• 检查在规范异常仅在费米子加倍时被抵消的前提下，手征费米子是否能在LQG中一致实现。
• 在LQG的低能谱与晶格费米子理论之间建立映射，以应用已知的费米子加倍定理。
• 通过背景无关的哈密顿形式化，证明LQG中规范异常的缺失意味着费米子加倍的必要性。

提出的方法

• 使用耦合标量场和手征费米子场的环量子引力（LQG）哈密顿形式化，其中标量场作为物理时钟，用于规范固定多指时间对称性。
• 基于规则晶格Γ构建背景量子引力态，该态在粗粒化下对应于平坦的空间度量。
• 应用Born-Oppenheimer近似，围绕引力背景展开哈密顿量，并聚焦于低能费米子激发。
• 引入去加重映射和穿衣映射，将LQG中有效物质哈密顿量与Γ上的标准晶格费米子理论联系起来。
• 验证Γ上的有效哈密顿量满足Nielsen-Ninomiya无解定理的条件，该定理禁止在规则晶格上一致耦合手征费米子。
• 通过动量空间分析和3+1维色散关系曲线，证明简并点（外尔节点）必须以相反手性成对出现，从而证明费米子加倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 环量子引力是否由于其离散的空间结构而存在费米子加倍问题？
• RQ2 在不违反Nielsen-Ninomiya无解定理的前提下，手征费米子能否与LQG一致耦合？
• RQ3 LQG中异常自由约束代数中规范异常的抵消是否足以允许手征费米子存在，还是必须导致费米子加倍？
• RQ4 LQG的低能有效理论能否映射到一个费米子加倍已知发生的晶格费米子模型？
• RQ5 LQG有效费米子谱的能量-动量色散关系的拓扑结构是什么？它与外尔节点和手性有何关联？

主要发现

• 当在基于晶格的背景展开时，环量子引力的低能谱与规则图Γ上的晶格费米子理论相匹配。
• LQG中费米子的有效哈密顿量满足Nielsen-Ninomiya无解定理的条件，该定理禁止在规则晶格上一致耦合手征费米子到局部哈密顿量。
• 因此，LQG中费米子激发的谱必须加倍，即使原始物质理论是手征的，左手和右手分量也必须数量相等。
• 色散关系中的简并点（外尔节点）必须以相反手性成对出现，且穿过这些节点的动量空间闭合曲线必须在两个方向上等量交叉，从而强制左右手态保持平衡。
• 由简并点周围波函数相位决定的这些曲线的取向，证实了左手和右手外尔费米子的数量必须相等，从而在低能极限下证明了费米子加倍。
• 该结果意味着，除非底层晶格结构或动力学破坏了无解定理所假设的对称性，否则LQG无法在不加倍的情况下支持手征费米子谱。