[论文解读] Fermionic Linear Optics and Matchgates

Emanuel Knill|ArXiv.org|Aug 7, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 72

一句话总结

该论文表明，具有粒子测量的费米子线性光学可被高效经典模拟，因为其可实现态的集合构成一个低维李群的闭包。它证明了两比特匹配门和Valiant的可模拟匹配电路生成一个与扩展费米子线性光学算符闭包同构的幺半群，从而通过李群结构解释了这些量子模型的经典可模拟性。

ABSTRACT

Fermionic linear optics is efficiently classically simulatable. Here it is shown that the set of states achievable with fermionic linear optics and particle measurements is the closure of a low dimensional Lie group. The weakness of fermionic linear optics and measurements can therefore be explained and contrasted with the strength of bosonic linear optics with particle measurements. An analysis of fermionic linear optics is used to show that the two-qubit matchgates and the simulatable matchcircuits introduced by Valiant generate a monoid of extended fermionic linear optics operators. A useful interpretation of efficient classical simulations such as this one is as a simulation of a model of non-deterministic quantum computation. Problem areas for future investigations are suggested.

研究动机与目标

• 解释为何具有粒子测量的费米子线性光学可被高效经典模拟，与玻色子线性光学的通用性形成对比。
• 证明两比特匹配门和Valiant的可模拟匹配电路生成一个与扩展费米子线性光学算符闭包同构的幺半群。
• 为涉及费米子和测量的非酉量子计算的可经典模拟性提供群论解释。
• 识别通过费米子线性光学和粒子探测可达的态集合背后的数学结构——特别是李代数及其关联群。
• 提出关于李群表示和量子算符幺半群模拟的开放问题，特别是复杂度和自然生成元集方面的问题。

提出的方法

• 该论文将费米子线性光学算符定义为保持泡利算符及其乘积线性张量空间的可逆矩阵，形成一个李群 ${\cal G}_1$。
• 将其扩展至 ${\cal G}_2$，即保持此类算符乘积空间的群，其构成维数为 $2n^2 + n + 1$ 的李代数。
• 利用Jordan-Wigner变换，将扩展费米子算符映射到李代数 $\mathfrak{so}_{2n+1}(\mathbb{C})$，从而实现高效的矩阵表示。
• 证明任一该群中的矩阵可分解为 $O(n^2)$ 个初等旋转 $e^{its_{kl}}$，并通过共轭和高斯消去法表示为 $O(n^3)$ 个允许的匹配门型算符的乘积。
• 通过将群元素表示为满足 $A^T A = I$ 的正交矩阵，实现模拟，从而可高效计算矩阵乘积和迹。
• 通过证明匹配门幺半群在 ${\cal G}_2$ 的闭包中是稠密的，建立了与Valiant匹配电路的联系，从而可模拟所有此类电路。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何具有粒子测量的费米子线性光学可被高效经典模拟，而使用相同资源的玻色子线性光学却是量子计算通用的？
• RQ2 通过费米子线性光学和粒子测量可达的态集合的数学结构是什么？
• RQ3 Valiant的两比特匹配门和可模拟匹配电路与扩展费米子线性光学算符群之间有何关系？
• RQ4 非酉量子过程的经典可模拟性是否可通过李群闭包来解释？
• RQ5 模拟简单复李群表示的复杂度类是什么？这与生成元选择有何关系？

主要发现

• 通过费米子线性光学和粒子测量可达的态集合是低维李群的闭包，解释了其经典可模拟性。
• 两比特匹配门生成的幺半群在扩展费米子线性光学群 ${\cal G}_2$ 的闭包中是稠密的。
• 扩展算符的李代数 ${\cal L}_2$ 维数为 $2n^2 + n + 1$，其关联群 ${\cal G}_2$ 通过Jordan-Wigner映射与 $\mathfrak{so}_{2n+1}(\mathbb{C})$ 同构。
• ${\cal G}_2$ 中任意算符可分解为 $O(n^3)$ 个初等匹配门型操作，从而实现高效经典模拟。
• Valiant匹配电路的模拟与扩展费米子线性光学的模拟在通用性上等价，因为二者均由相同的底层李群结构所支配。
• 该论文提出，此类模型的经典可模拟性源于相关算符位于一个闭包非通用的群中，而玻色子情形则不然。