[论文解读] Fermionic Matrix Product Operators and Topological Phases of Matter

Dominic J. Williamson, Nick Bultinck+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用 9

一句话总结

本文提出费米子矩阵乘积算符（fMPOs）作为分类二维费米子拓扑序与对称保护拓扑（SPT）序的框架。通过将矩阵乘积算符代数扩展至包含费米统计，作者表明fMPOs自然实现费米子融合张量范畴，并通过三个上同调群分类SPT序：$H^1(G,\mathbb{Z}_2)$、$H^2(G,\mathbb{Z}_2)$ 和 $ar{H}^3(G,U(1))$，实现了费米子弦网态的张量网络实现，并为费米子拓扑序奠定了基础。

ABSTRACT

We introduce the concept of fermionic matrix product operators, and show that they provide a natural representation of fermionic fusion tensor categories. This allows for the classification of two dimensional fermionic topological phases in terms of matrix product operator algebras. Using this approach we give a classification of fermionic symmetry protected topological phases with respect to a group $G$ in terms of three cohomology groups: $H^1(G,\mathbb{Z}_2)$, describing which matrix product operators are of Majorana type, $H^2(G,\mathbb{Z}_2)$, describing the fermionic nature of the fusion tensors that arise when two matrix product operators are multiplied, and the supercohomolgy group $\bar{H}^3(G,U(1))$ which corresponds to the associator that changes the order of fusion. We also generalize the tensor network description of the string-net ground states to the fermionic setting, yielding simple representations of a class that includes the fermionic toric code.

研究动机与目标

• 开发一种利用尊重费米统计的矩阵乘积算符分类费米子拓扑序的框架。
• 通过引入具有 $\mathbb{Z}_2$-分次结构的费米子MPO（fMPOs），将张量网络形式化推广至费米子系统。
• 以捕捉马约拉纳性质、融合统计与结合律的上同调群来分类二维费米子对称保护拓扑（SPT）序。
• 利用fMPOs将弦网构造推广至费米子系统，并确立其在拓扑序中的作用。
• 为研究超越固定点模型的费米子拓扑序与相变奠定基础。

提出的方法

• 引入具有 $\mathbb{Z}_2$-分次结构的费米子矩阵乘积算符（fMPOs），以模拟费米子任意任何子与拓扑序。
• 定义fMPO的局部融合规则与结合子，表明其必须满足费米子五边形方程以保证一致性。
• 使用fMPO构造费米子弦网态的张量网络表示，推广任意任何子的玻色子PEPS形式化。
• 利用fMPO代数的规范等价性与莫里塔等价性，分类守恒量子数与拓扑序。
• 通过分析与对称群 $G$ 关联的fMPO代数，将框架应用于SPT相的分类，得出通过三个上同调群的分类结果。
• 在拉通过方程中考虑费米统计，确保fMPO可在不同边界条件下在张量网络中移动。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将矩阵乘积算符推广以描述具有非阿贝尔统计与马约拉纳零模的费米子拓扑序？
• RQ2 二维系统中费米子激发的融合与编织的代数结构是什么？fMPO如何捕捉这一结构？
• RQ3 上同调群 $H^1(G,\mathbb{Z}_2)$、$H^2(G,\mathbb{Z}_2)$ 与 $ar{H}^3(G,U(1))$ 如何分类具有局域酉对称性的费米子SPT相？
• RQ4 如何利用fMPO将弦网构造推广至费米子系统？费米子交换规则在其中扮演什么角色？
• RQ5 费米子PEPS中fMPO的正确拉通过条件是什么？它们如何确保在对称变换下的拓扑不变性？

主要发现

• 具有局域酉对称群 $G$ 的费米子SPT相的分类由三个上同调群给出：$H^1(G,\mathbb{Z}_2)$、$H^2(G,\mathbb{Z}_2)$ 与 $ar{H}^3(G,U(1))$，分别对应马约拉纳型算符、费米子融合与结合律约束。
• 费米子MPO构成一个 $\mathbb{Z}_2$-分次代数，实现了费米子融合张量范畴的结构，从而能够描述费米子系统中的任意统计。
• fMPO形式化允许构建费米子弦网基态的张量网络实现，将玻色子PEPS形式化推广至包含费米统计。
• fMPO融合的一致性由费米子五边形方程控制，该方程确保结合律在规范等价意义下成立。
• 该框架揭示，费米子PEPS中fMPO的虚对称性需额外的拉通过条件，这是由于自旋结构与边界条件依赖性所致，这一微妙之处在玻色子情形中并不存在。
• 该结果已被后续工作（Bultinck et al., 2017b）所超越，后者对fMPO对称性与fPEPS中的拉通过方程提供了完整处理。