[论文解读] Fermionic representation for basic hypergeometric functions related to Schur polynomials

A. Yu. Orlov, D. M. Scherbin|ArXiv.org|Jan 6, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用 31

一句话总结

本文建立了与施温多项式相关的基本超几何函数的费米子表示，表明它们是KP和Toda格子（TL）层级的tau函数。推导了行列式与积分表示，推广了米尔恩的结果，并将这些函数识别为圆周上Ψ微分算子的群2-上循环，通过米乌变换和高阶时间变量与q-正交多项式建立了显式联系。

ABSTRACT

We present the fermionic representation for the q-deformed hypergeometric functions related to Schur polynomials considered by S.Milne \cite{Milne}. For $q=1$ these functions are also known as hypergeometric functions of matrix argument which are related to zonal spherical polynomials for $GL(N,C)/U(N)$ symmetric space. We show that these multivariable hypergeometric functions are tau-functions of the KP hierarchy. At the same time they are the ratios of Toda lattice tau-functions considered by Takasaki in \cite{Tinit}, \cite{T} evaluated at certain values of higher Toda lattice times. The variables of the hypergeometric functions are related to the higher times of those hierarchies via Miwa change of variables. The discrete Toda lattice variable shifts parameters of hypergeometric functions. Hypergeometric functions of type ${}_pF_s$ can be also viewed as group 2-cocycle for the $Ψ$DO on the circle of the order $p-s \leq 1$ (the group times are higher times of TL hierarchy and the arguments of hypergeometric function). We get the determinant representation and the integral representation of special type of KP tau-functions, these results generalize some of Milne's results in \cite{Milne}. We write down a system of linear differential and difference equations for these tau-functions (string equations). We present also fermionic representation for special type of Gelfand-Graev hypergeometric functions.

研究动机与目标

• 建立与施温多项式相关的基本超几何函数的费米子 Fock 空间表示。
• 表明这些多变量超几何函数是KP层级的tau函数，且在特定高阶时间值下为Toda格子tau函数的比值。
• 通过推导行列式与积分表示，推广米尔恩关于超几何函数的结果。
• 将超几何函数识别为圆周上Ψ微分算子的群2-上循环，其中高阶时间为群参数。
• 为特殊q-正交多项式（包括q-哈恩、q-拉卡和小q-雅可比多项式）提供显式的费米子实现。

提出的方法

• 利用费米子 Fock 空间形式，结合顶点算子与双线性恒等式，构造KP与Toda格子tau函数。
• 应用米乌的变量替换，将超几何函数变量与KP及TL层级的高阶时间联系起来。
• 通过玻色化规则与费米子态上顶点算子作用，推导行列式表示。
• 利用Baker-Akhiezer函数与Sato格拉斯曼流形框架，构造积分表示。
• 在Toda格子设定下，通过特定的r(D)算子建立超几何函数与q-正交多项式之间的联系。
• 利用高斯分解问题与额外对称性，推导弦方程与上循环结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将与施温多项式相关的超几何函数表示为费米子 Fock 空间态？
• RQ2 这些超几何函数与KP及Toda格子层级的tau函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否为这些超几何函数推导出行列式与积分表示，从而推广米尔恩的结果？
• RQ4 这些函数如何作为圆周上Ψ微分算子的群2-上循环出现？高阶时间在此上下文中的作用是什么？
• RQ5 特殊q-正交多项式（如q-哈恩与q-拉卡多项式）的费米子实现是什么？

主要发现

• 超几何函数${}_{p}\tau_{s}^{(q)}$被证明是KP层级的tau函数，且在特定高阶时间值下为Toda格子tau函数的比值。
• 推导出KP tau函数$\tau_{r}(M,{\bf t},\beta)$的行列式表示，推广了米尔恩的结果。
• 利用Baker-Akhiezer函数与双线性恒等式，为特殊类型的KP tau函数构造了积分表示。
• 超几何函数被识别为圆周上Ψ微分算子的群2-上循环，其中高阶时间为群参数，超几何函数的参数为上循环的参数。
• 通过Toda格子设定下的特定r(D)算子，显式构造了q-哈恩、q-拉卡与小q-雅可比多项式的费米子表示。
• 本文推导了tau函数的一组线性微分与差分方程（弦方程），推广了高斯超几何方程。