[论文解读] Fermionic tomography and learning

Bryan O’Gorman|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文针对费米子阴影层析成像提出了一种组合分析方法，采用同时为费米子高斯态和 Clifford 的酉矩阵集合，修正了方差估计器，并实现了对 $n$-电子斯莱特行列式高效学习。该研究建立了 $O(n^2 m^7 /log(m/ au)/ au^2)$ 的样本复杂度，用于实现 $ au$-保真度学习，且具有可证明的界与数值证据，支持对保真度和 $X$-型算符的估计。

ABSTRACT

Shadow tomography via classical shadows is a state-of-the-art approach for estimating properties of a quantum state. We present a simplified, combinatorial analysis of a recently proposed instantiation of this approach based on the ensemble of unitaries that are both fermionic Gaussian and Clifford. Using this analysis, we derive a corrected expression for the variance of the estimator. We then show how this leads to efficient estimation protocols for the fidelity with a pure fermionic Gaussian state (provably) and for an $X$-like operator of the form ($|\mathbf 0 angle\langleψ|$ + h.c.) (via numerical evidence). We also construct much smaller ensembles of measurement bases that yield the exact same quantum channel, which may help with compilation. We use these tools to show that an $n$-electron, $m$-mode Slater determinant can be learned to within $ε$ fidelity given $O(n^2 m^7 \log(m / δ) / ε^2)$ samples of the Slater determinant.

研究动机与目标

• 开发一种基于经典阴影的高效、组合式费米子态估计框架。
• 修正费米子高斯-Clifford集合中经典阴影估计器的方差表达式。
• 建立对与纯费米子高斯态保真度估计的可证明高效协议。
• 构建更小的测量集合，保持相同的量子通道，以辅助量子线路编译。
• 推导出学习 $n$-电子、$m$-模斯莱特行列式至 $ $ 保真度的紧致样本复杂度界。

提出的方法

• 使用仿射-匹配门集合——即同时为仿射（Clifford）和匹配门（费米子高斯）的酉矩阵——作为阴影层析成像的测量基。
• 推导出一般算符二阶矩的修正表达式，该表达式界定了阴影范数，从而界定了估计器的方差。
• 应用 Gershgorin 圆定理，界定了估计约化密度矩阵中特征值的扰动，确保保真度的保持。
• 利用斯莱特行列式完全由其单粒子密度矩阵（1-RDM）表征的性质，将学习问题简化为在有界误差下估计 1-RDM。
• 采用中位数-均值估计器处理迹范数无界的可观测量，确保在高方差下的鲁棒性。
• 构建最小测量集合，使其产生的量子通道与完整仿射-匹配门集合相同，从而降低线路深度与编译开销。

实验结果

研究问题

• RQ1 在费米子高斯-Clifford集合中，经典阴影估计器方差的正确表达式是什么？
• RQ2 能否通过具有可证明样本复杂度的阴影层析成像，对学习态与目标斯莱特行列式之间的保真度进行有界估计？
• RQ3 如何在保持相同量子通道的前提下最小化测量集合，以实现高效的量子线路编译？
• RQ4 学习 $n$-电子、$m$-模斯莱特行列式至 $ $ 保真度的最优样本复杂度是多少？
• RQ5 该框架能否扩展至估计迹范数无界的非迹类可观测量（如 $X$-型算符），即使在迹范数无界的情况下？

主要发现

• 本文推导出费米子高斯-Clifford集合中一般算符二阶矩的修正表达式，从而收紧了经典阴影估计器的方差界。
• 学习 $n$-电子、$m$-模斯莱特行列式至 $ $ 保真度的样本复杂度为 $O(n^2 m^7 \log(m/\delta)/\epsilon^2)$，该结果具有可证明的高效性。
• 数值证据表明，利用所提框架可实现对形如 $(|\mathbf{0}\rangle\langle\psi| + |\psi\rangle\langle\mathbf{0}|)$ 的 $X$-型算符的估计。
• 作者构建了更小的测量集合，其产生的量子通道与完整仿射-匹配门集合相同，从而降低了资源开销。
• 利用 Gershgorin 圆定理界定了估计 1-RDM 中特征值的扰动，确保学习态与目标态在保真度上保持接近。
• 分析表明，保真度估计器的阴影范数是有界的，从而在推导的误差范围内可使用样本均值估计器。