[论文解读] Fewer runs than word length

Maxime Crochemore, Robert Mercaş|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Algorithms and Data Compression参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的证明方法，表明长度为 $ n $ 的字符串中运行次数严格小于 $ n $，通过字典序为每个运行分配一个唯一的无边框Lyndon根后缀。关键贡献是基于唯一后缀分配的组合论证，建立了上界，进一步支持了运行次数少于字符串长度的猜想。

ABSTRACT

The work takes another look at the number of runs that a string might contain and provides an alternative proof for the bound. We also propose another stronger conjecture that states that, for a fixed order on the alphabet, within every factor of a word there are at most as many occurrences of Lyndon roots corresponding to runs in a word as the length of the factor (only first such occurrences for each run are considered).

研究动机与目标

• 提供一种替代的、组合的证明，表明长度为 $ n $ 的字符串中运行次数少于 $ n $，从而确认一个长期存在的猜想。
• 在字典序或反字典序下，建立运行与其最大真后缀之间的一一对应关系。
• 通过将运行与无边框Lyndon根及平方中的关键位置关联，分析运行的密度。
• 研究在字符串因子中，特别是二进制字符串中，运行的最大可能密度。
• 在字典序和反序下，细化区间内 $ \mathrm{Oroot} $（Lyndon根共轭）数量的边界。

提出的方法

• 根据运行是否能通过更大的字符向右扩展，使用字典序 $ < $ 或反字典序 $ \widetilde{<} $ 为每个运行分配其最大真后缀。
• 证明字符串中每个位置 $ k > 0 $ 最多只能是这样一个分配后缀的起始点，从而确保单射性。
• 利用分配后的后缀对应于运行周期根的无边框共轭这一性质，而该周期根是一个Lyndon词。
• 利用Lyndon词在其旋转中字典序最小且无边框的性质，确保分配后缀的唯一性。
• 通过区分 $ \mathrm{Oroot} $ 的起始字符和排序方式，并利用重叠性质，将结果应用于二进制字符串，以限制其数量。
• 应用引理13（$ \mathrm{Oroot} $ 的重叠性质）证明：重叠的 $ \mathrm{Oroot} $ 必须嵌套或不相交，且除非是单字符的，否则其长度差至少为2。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为运行次数少于字符串长度这一猜想提供更简单或另一种证明？
• RQ2 运行与其Lyndon根共轭之间在结构上存在何种关系，特别是从后缀分配的角度？
• RQ3 在长度为 $ \ell $ 的因子中，最多能出现多少个 $ \mathrm{Oroot} $（Lyndon根共轭），何种构型可使该数量最大化？
• RQ4 $ \mathrm{Oroot} $ 的重叠与嵌套性质对二进制字符串中其最大密度施加了哪些约束？
• RQ5 能否在仅限于单一排序（字典序或反字典序）的条件下，为二进制字符串中区间内 $ \mathrm{Oroot} $ 的数量建立更紧的边界？

主要发现

• 任何长度为 $ n $ 的字符串中，运行次数严格小于 $ n $，通过将运行唯一分配给其最大后缀的新方法得到证实。
• 每个运行都通过字典序或反字典序，唯一地关联到一个其周期根的无边框Lyndon词共轭。
• 没有两个不同的运行可以被分配到同一个起始位置作为其最大后缀，从而确保单射性并证明了上界。
• 在二进制字符串中，任意长度为 $ \ell $ 的区间内，使用相同排序（字典序或反字典序）时，$ \mathrm{Oroot} $ 的数量至多为 $ \frac{\ell - 1}{2} $。
• 当且仅当因子形式为 $ a(ab)^{(\ell-2)/2}b $ 且 $ a < b $ 时，因子中 $ \mathrm{Oroot} $ 的数量达到最大值，此结论基于猜想。
• 对于非单字符的 $ \mathrm{Oroot} $，其在因子中的数量受 $ \min\{|w|_{ab}, |w|_{ba}\} $ 限制；对于单字符运行，每个最大单字符块最多额外增加一个 $ \mathrm{Oroot} $。