[论文解读] Feynman Categories

Ralph M. Kaufmann, Benjamin C. Ward|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 37

一句话总结

本文引入费曼范畴作为操作、关系和参数化结构的统一范畴框架，推广了操作代数、PROPs、模操作代数及其相关理论。通过将已知构造重新表述为凯恩扩张，并实现通用操作、化解和费曼变换，该框架建立了模型范畴结构，从而产生新示例并统一了多种代数与拓扑构造。

ABSTRACT

In this paper we give a new foundational, categorical formulation for operations and relations and objects parameterizing them. This generalizes and unifies the theory of operads and all their cousins including but not limited to PROPs, modular operads, twisted (modular) operads, properads, hyperoperads, their colored versions, as well as algebras over operads and an abundance of other related structures, such as crossed simplicial groups, the augmented simplicial category or FI--modules. The usefulness of this approach is that it allows us to handle all the classical as well as more esoteric structures under a common framework and we can treat all the situations simultaneously. Many of the known constructions simply become Kan extensions. In this common framework, we also derive universal operations, such as those underlying Deligne's conjecture, construct Hopf algebras as well as perform resolutions, (co)bar transforms and Feynman transforms which are related to master equations. For these applications, we construct the relevant model category structures. This produces many new examples.

研究动机与目标

• 为操作代数、PROPs 和扭曲操作代数等多样化代数结构提供统一的范畴基础。
• 在单一框架内推广经典构造，如（共）包络变换和费曼变换。
• 将操作代数及其相关结构（如 FI-模和交叉单纯群）置于同等地位进行处理。
• 实现通用操作的系统推导，包括与德利涅猜想相关的操作。
• 为解决和分析这些广义代数对象构建模型范畴结构。

提出的方法

• 形式化一个范畴框架——费曼范畴——其中对象用于参数化操作和关系。
• 使用凯恩扩张重新诠释已知构造，如（共）包络变换和化解。
• 通过范畴结构定义通用操作，推广支撑德利涅猜想的操作。
• 利用框架的通用性质构造霍普夫代数并执行费曼变换。
• 在费曼范畴上建立模型范畴结构，以支持同伦代数和化解技术。
• 将该框架应用于推导新示例，并统一模操作代数和超操作代数等不同结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一范畴框架下统一操作代数及其相关结构？
• RQ2 哪些范畴构造能跨多种代数理论推广（共）包络变换和费曼变换？
• RQ3 在该设定中，通用操作（如德利涅猜想中的操作）如何自然产生？
• RQ4 能否在费曼范畴上构建模型范畴结构以支持同伦化解？
• RQ5 该广义框架下会涌现出哪些新的代数结构示例？

主要发现

• 该框架将操作代数、PROPs、模操作代数、正则操作代数和超操作代数统一于单一范畴构造之下。
• 已知构造如（共）包络变换和化解被证明是该框架内凯恩扩张的实例。
• 通用操作（包括与德利涅猜想相关的操作）可系统地从范畴结构中推导而出。
• 费曼变换及相关主方程通过框架的通用性质自然编码。
• 在费曼范畴上构建了模型范畴结构，支持同伦代数和化解技术。
• 该框架产生了此前未被单一理论统一的新代数结构示例。