[论文解读] Feynman checkers: lattice quantum field theory with real time

Mikhail Skopenkov, A. V. Ustinov|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的闵可夫斯基晶格量子场论模型——费曼反检查棋（Feynman anticheckers），该模型在实时间下精确描述了一维空间中非相互作用的电子与正电子。通过在原始费曼检查棋模型基础上引入双晶格正则化，该模型在连续极限下重现了连续的狄拉克传播子和预期的电荷密度，可通过合流超几何函数精确求解，并满足弱化的威格曼公理，首次实现了无费米子加倍的费米子产生/湮灭的组合实现。

ABSTRACT

We present a new completely elementary model that describes the creation, annihilation, and motion of non-interacting electrons and positrons along a line. It is a modification of the model known under the names Feynman checkers or one-dimensional quantum walk. It can be viewed as a six-vertex model with certain complex weights of the vertices. The discrete model is consistent with the continuum quantum field theory, namely, reproduces the known expected charge density as the lattice step tends to zero. It is exactly solvable in terms of hypergeometric functions. We introduce interaction resembling Fermi's theory and establish perturbation expansion.

研究动机与目标

• 构建一个完全离散、实时间的晶格量子场论模型，以包含电子-正电子对的产生与湮灭。
• 通过引入具有双晶格正则化的组合模型，解决格点场论中长期存在的费米子加倍问题。
• 通过展示期望电荷密度在晶格间距趋于零时收敛至已知的连续结果，建立与连续量子场论的一致性。
• 利用特殊函数提供精确可解模型，并通过贝塞尔函数和三角函数推导渐近行为。
• 将模型扩展以包含类似于费米理论的相互作用，并推导微扰展开。

提出的方法

• 通过在费曼检查棋（一维量子行走）模型基础上引入双晶格以正则化传播子并避免费米子加倍，构建该模型。
• 在具有实时间的时空晶格上定义场算符，哈密顿量构造为在离散平移下保持类洛伦兹对称性。
• 通过傅里叶积分表示，将解表达为合流超几何函数，从而实现矩阵元的精确计算。
• 采用在双晶格上引入小虚质量的正则化方法，以确保传播子定义良好并避免发散。
• 通过在光锥外消失的反对易关系强制实现费米统计，确保因果性。
• 通过引入类似于费米弱相互作用理论的相互作用项，发展微扰理论，实现费曼图的图解展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个完全初等的组合晶格模型能否在实时间下重现狄拉克费米子的费曼传播子，包括对产生与湮灭？
• RQ2 该模型是否避免了标准格点规范场论中固有的费米子加倍问题，特别是在闵可夫斯基时空下？
• RQ3 在晶格间距趋于零的极限下，该离散模型是否与连续量子场论一致，特别是能否重现已知的期望电荷密度？
• RQ4 该模型能否通过特殊函数精确求解？其传播子的渐近行为如何？
• RQ5 能否一致地引入类似于费米理论的微扰相互作用，并导出在费曼图中具有明确定义的展开？

主要发现

• 在晶格间距 ε → 0 的极限下，离散模型重现了连续量子场论的期望电荷密度，数值图示显示极佳吻合（图1）。
• 该模型可通过合流超几何函数精确求解，传播子的矩阵元可通过傅里叶积分表示，并利用贝塞尔函数和三角函数的渐近展开表达。
• 满足弱化的威格曼公理：场算符有界，真空唯一，状态稠密，因果性通过在光锥外消失的反对易关系得以保证。
• 在连续极限下，能量-动量关系得以保持，满足 H² − (1 − ω₀ε/π)²P² ≥ 0，表明在有效连续极限中不存在负能量态。
• 为一种类似于费米理论的相互作用建立了微扰展开，可通过组合费曼图展开计算散射振幅。
• 该模型通过构造避免了费米子加倍，因为双晶格正则化破坏了导致标准格点形式中出现虚假费米子种类的对称性。