[论文解读] Feynman integrals and hyperlogarithms

Erik Panzer|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 141被引用 105

一句话总结

本文建立了一个严格的框架，用于使用超对数（hyperlogarithms）评估无质量的三线和四线费曼积分，证明了所有此类积分——超出标准的多重 zeta 值之外——均可表示为所有 ε 展开阶次的多重 polylogarithms。作者提出了一种新颖的算法以追踪奇点，并在 Maple 软件包 HyperInt 中实现，从而实现了对复杂图的精确计算，包括首个已知的在无质量 φ⁴ 理论中不可表示为多重 zeta 值的反项，而是表示为单位根为六次本原单位根的多重 polylogarithms 的线性组合（除以 √3）。

ABSTRACT

We study Feynman integrals in the representation with Schwinger parameters and derive recursive integral formulas for massless 3- and 4-point functions. Properties of analytic (including dimensional) regularization are summarized and we prove that in the Euclidean region, each Feynman integral can be written as a linear combination of convergent Feynman integrals. This means that one can choose a basis of convergent master integrals and need not evaluate any divergent Feynman graph directly. Secondly we give a self-contained account of hyperlogarithms and explain in detail the algorithms needed for their application to the evaluation of multivariate integrals. We define a new method to track singularities of such integrals and present a computer program that implements the integration method. As our main result, we prove the existence of infinite families of massless 3- and 4-point graphs (including the ladder box graphs with arbitrary loop number and their minors) whose Feynman integrals can be expressed in terms of multiple polylogarithms, to all orders in the epsilon-expansion. These integrals can be computed effectively with the presented program. We include interesting examples of explicit results for Feynman integrals with up to 6 loops. In particular we present the first exactly computed counterterm in massless phi^4 theory which is not a multiple zeta value, but a linear combination of multiple polylogarithms at primitive sixth roots of unity (and divided by $\sqrt{3}$). To this end we derive a parity result on the reducibility of the real- and imaginary parts of such numbers into products and terms of lower depth.

研究动机与目标

• 开发一种系统方法，利用分析正规化和参数表示，在量子场论中评估发散费曼积分。
• 证明所有无质量三线和四线积分在欧氏区域均可约化为收敛的主积分，避免直接计算发散图。
• 提供一个自包含的超对数理论，包含积分、奇点追踪和解析延拓的算法。
• 证明无限族阶梯盒图及其子图在所有 ε 展开阶次下均可表示为多重 polylogarithms。
• 在 HyperInt Maple 软件包中实现该方法，并计算显式结果，包括无质量 φ⁴ 理论中的新反项。

提出的方法

• 利用施温格参数表示，将费曼积分表示为单纯形区域上的参数积分。
• 应用由生成森林多项式导出的递归积分公式，将复杂积分约化为更简单的组成部分。
• 引入一种新的超对数形式化方法，将其视为具有对数奇点的迭代积分，使用打结代数和切向基点。
• 开发算法以追踪积分路径上的奇点，包括夹紧效应和发散极限的正则化。
• 实现一个计算机代数系统（HyperInt），执行符号积分、ε 展开和多项式因式分解。
• 使用相容图和线性可约性准则，确定积分何时可约化为多重 polylogarithms。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有无质量三线和四线费曼积分在欧氏区域是否均可表示为收敛主积分的线性组合？
• RQ2 在何种条件下，阶梯盒图及其子图的费曼积分可对所有 ε 展开阶次约化为多重 polylogarithms？
• RQ3 在积分过程中，如何系统地追踪和正则化多变量超对数积分中的奇点？
• RQ4 在单位根处取值的多重 polylogarithms 所生成的数系的结构是什么？其实部和虚部分解如何？
• RQ5 HyperInt 软件包能否对高圈图（包括不可表示为多重 zeta 值的图）计算精确结果？

主要发现

• 本文证明了所有无质量三线和四线费曼积分在欧氏区域均可表示为收敛主积分的线性组合，从而无需直接计算发散图。
• 证明了任意圈数的阶梯盒图及其子图构成的无限族，其积分在所有 ε 展开阶次下均可表示为多重 polylogarithms。
• 计算出首个在无质量 φ⁴ 理论中不可表示为多重 zeta 值的精确反项：其为在本原六次单位根处取值的多重 polylogarithms 的线性组合，再除以 √3。
• 推导出一个对称性结果，表明此类数的实部和虚部无法约化为更低深度的乘积或项，表明其不可约性。
• 提供了至六圈图的显式结果，展示了 HyperInt 软件包在计算高圈振幅方面的实际有效性。