[论文解读] Feynman-Kac formula for Lévy processes with discontinuous killing rate

Kathrin Glau|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文为具有不连续消亡率的时间非齐次 Lévy 过程驱动的抛物型演化方程的变分解建立了严格的费曼-卡茨表示法。通过利用索博列夫-斯洛博德基夫空间中的弱解理论，并证明生成元符号的连续性和增长条件，作者为 Lévy 模型中的快速确定性期权定价提供了坚实的数学基础，包括广义双曲分布和正态逆高斯过程。

ABSTRACT

The challenge to fruitfully merge state-of-the-art techniques from mathematical finance and numerical analysis has inspired researchers to develop fast deterministic option pricing methods. As a result, highly efficient algorithms to compute option prices in Lévy models by solving partial integro differential equations have been developed. In order to provide a solid mathematical foundation for these methods, we derive a Feynman-Kac representation of variational solutions to partial integro differential equations that characterize conditional expectations of functionals of killed time-inhomogeneous Lévy processes. We allow for a wide range of underlying stochastic processes, comprising processes with Brownian part, and a broad class of pure jump processes such as generalized hyperbolic, multivariate normal inverse Gaussian, tempered stable, and $α$-semi stable Lévy processes. By virtue of our mild regularity assumptions as to the killing rate and the initial condition of the partial differential equation, our results provide a rigorous basis for numerous applications, not only in financial mathematics but also in probability theory and relativistic quantum mechanics.

研究动机与目标

• 为具有不连续消亡率的时间非齐次 Lévy 过程中的条件期望建立数学上严格的费曼-卡茨表示法。
• 通过识别消亡率和初始数据的最小正则性条件，弥合随机过程与金融数学中确定性偏积分微分方程（PIDE）之间的鸿沟。
• 为 Lévy 模型中的快速确定性期权定价方法提供理论基础，特别是针对具有跳变和非光滑收益结构的情形。
• 将经典费曼-卡茨框架扩展至包含一般特征的 Lévy 过程中出现的非局部算子和伪微分算子。
• 通过证明变分解的存在性与唯一性，验证伽辽金方法在求解所得 PIDE 中的有效性。

提出的方法

• 利用索博列夫-斯洛博德基夫空间中的变分方法，推导出具有不连续消亡率的时间非齐次 PIDE 的费曼-卡茨型表示，用于弱解。
• 建立 Lévy 生成元符号的连续性和增长条件，以确保相关双线性形式的强制性和有界性。
• 应用希尔伯特空间中抛物型演化方程的理论，证明 PIDE 的变分解的存在性与唯一性。
• 利用傅里叶分析和符号的复域延拓，刻画生成元的解析性与复域中的连续性。
• 证明双线性形式的分段连续性蕴含符号的分段连续性，从而确保解算子的正则性。
• 实施伽辽金方法以数值求解 PIDE，并通过数值实验展示消亡率对期权价格的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有不连续消亡率的时间非齐次 Lévy 过程的泛函条件期望可建立费曼-卡茨表示？
• RQ2 当消亡率不连续且生成元为非局部算子时，如何严格建立随机过程与 PIDE 之间的联系？
• RQ3 对消亡率和初始条件的何种最小正则性假设可确保相关 PIDE 的变分解的存在性与唯一性？
• RQ4 在金融衍生品定价的背景下，PIDE 的解在何种意义上可解释为条件期望？
• RQ5 Lévy 生成元符号的性质（如连续性、增长性）如何影响 PIDE 的适定性及费曼-卡茨公式的有效性？

主要发现

• 为具有不连续消亡率的 PIDE 变分解建立了严格的费曼-卡茨表示，将经典结果扩展至非光滑和非马尔可夫情形。
• 在消亡率和初始条件具有较弱正则性假设的条件下，证明了在索博列夫-斯洛博德基夫空间中解的存在性与唯一性。
• 研究表明，生成元符号的连续性和增长条件（如正态逆高斯过程或变型稳定过程）足以确保双线性形式的强制性和有界性。
• 证明了双线性形式的分段连续性蕴含符号的分段连续性，这对演化方程的适定性至关重要。
• 伽辽金方法被成功应用于 PIDE 的数值求解，数值实验展示了消亡率对期权价格的影响。
• 该框架支持广泛的 Lévy 过程类别，包括广义双曲分布、多变量正态逆高斯分布、变型稳定过程以及 α-半稳定过程。