[论文解读] Feynman-Kac formulas for the ultra-violet renormalized Nelson model

Oliver Matte, Jacob Schach Møller|VBN Forskningsportal (Aalborg Universitet)|Jan 10, 2017

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 12

一句话总结

本文為具有 Kato 可分解外部勢的紫外線重整化尼爾森哈密頓量建立了費曼-海克公式，同時處理有質量與無質量的玻色子。透過費曼-海克半群，以非微擾方式在非福克表示中構造了重整化哈密頓量，證明其譜下界為 $-C\mathfrak{g}^4N^3$，並在泡利不相容原理下驗證了正性改善性質。

ABSTRACT

We derive Feynman-Kac formulas for the ultra-violet renormalized Nelson Hamiltonian with a Kato decomposable external potential and for corresponding fiber Hamiltonians in the translation invariant case. We simultaneously treat massive and massless bosons. Furthermore, we present a non-perturbative construction of a renormalized Nelson Hamiltonian in the non-Fock representation defined as the generator of a corresponding Feynman-Kac semi-group. Our novel analysis of the vacuum expectation of the Feynman-Kac integrands shows that, if the external potential and the Pauli-principle are dropped, then the spectrum of the $N$-particle renormalized Nelson Hamiltonian is bounded from below by some negative universal constant times $g^4N^3$, for all values of the coupling constant $g$. A variational argument also yields an upper bound of the same form for large $g^2N$. We further verify that the semi-groups generated by the ultra-violet renormalized Nelson Hamiltonian and its non-Fock version are positivity improving with respect to a natural self-dual cone, if the Pauli principle is ignored. In another application we discuss continuity properties of elements in the range of the semi-group of the renormalized Nelson Hamiltonian.

研究动机与目标

• 推導具有 Kato 可分解外部勢的紫外線重整化尼爾森哈密頓量的嚴謹費曼-海克公式。
• 透過費曼-海克公式，在非福克表示中以非微擾半群方法構造重整化哈密頓量。
• 分析 $N$-粒子重整化尼爾森哈密頓量的譜性質，特別是其下界。
• 在不考慮泡利不相容原理的情況下，建立半群相對於自對偶錐的正性改善性質。
• 研究重整化哈密頓量所生成半群之值域中元素的連續性性質。

提出的方法

• 使用路徑積分表達式推導紫外線重整化尼爾森哈密頓量的費曼-海克公式。
• 採用非微擾半群方法，透過費曼-海克公式在非福克表示中定義哈密頓量。
• 分析費曼-海克被積函數的真空期望值，以推導譜界。
• 運用變分法論證地面態能量的上下界，其尺度為 $\mathfrak{g}^4N^3$。
• 應用類似 Perron-Frobenius 的論證，證明在不考慮泡利不相容原理時，半群的正性改善性質。
• 利用譜演算與測度論密度論證，將譜的下確界與譜測度的支集聯繫起來。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為具有 Kato 可分解勢的紫外線重整化尼爾森哈密頓量嚴謹推導費曼-海克公式？
• RQ2 在不考慮泡利不相容原理時，$N$-粒子重整化尼爾森哈密頓量的譜行為為何？
• RQ3 地面態能量如何隨耦合常數 $\mathfrak{g}$ 與粒子數 $N$ 變化？
• RQ4 能否透過費曼-海克半群構造非微擾且非福克表示的重整化哈密頓量？
• RQ5 在何種條件下，重整化哈密頓量所生成的半群具有正性改善性質？

主要发现

• 在所有耦合常數 $\mathfrak{g}$ 下，$N$-粒子重整化尼爾森哈密頓量的譜下界為一負的通用常數乘以 $\mathfrak{g}^4N^3$。
• 變分法論證得出，當 $\mathfrak{g}^2N$ 較大時，其上界亦具有相同量級 $\mathfrak{g}^4N^3$，確認了尺度行為。
• 當忽略泡利不相容原理時，紫外線重整化哈密頓量所生成的半群相對於自然的自對偶錐具有正性改善性質。
• 非福克版本的重整化哈密頓量被構造為費曼-海克半群的生成元，提供了非微擾實現。
• 已確立半群值域中元素的連續性性質，支持動力系統的正則性。
• 透過正性與密度論證，利用譜測度支集與半群的長期行為，對譜的下確界進行了特徵化。