[论文解读] FFTPL: An Analytic Placement Algorithm Using Fast Fourier Transform for Density Equalization

Jingwei Lu, Pengwen Chen+5 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2013

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出FFTPL，一种基于快速傅里叶变换（FFT）的平面非线性布局算法，通过求解泊松方程实现VLSI布局中的密度均衡。通过将单元建模为带电粒子，并利用FFT计算电势与电场，该方法在收敛速度上优于现有最先进布局工具的同时，实现了更优的线长与密度平衡性能。

ABSTRACT

We propose a flat nonlinear placement algorithm FFTPL using fast Fourier transform for density equalization. The placement instance is modeled as an electrostatic system with the analogy of density cost to the potential energy. A well-defined Poisson's equation is proposed for gradient and cost computation. Our placer outperforms state-of-the-art placers with better solution quality and efficiency.

研究动机与目标

• 解决在提升运行效率的前提下，实现高质量、无拥塞的VLSI设计布局的挑战。
• 通过引入受物理启发的静电模型，克服传统布局方法在收敛性差、运行时间长或建模不准确方面的局限性。
• 开发一种平面非线性布局算法，避免分层聚类，同时保持解的质量并加速收敛。
• 集成快速傅里叶变换（FFT）以高效求解泊松方程，用于全局密度与线长代价计算。
• 在多样化的基准测试中实现更优的线长与密度平衡，且无需参数调优。

提出的方法

• 将布局实例建模为静电系统，其中每个单元被视为电荷量等于其面积的带电粒子。
• 定义泊松方程，将单元密度分布与电势及电场关联，从而实现平滑梯度计算。
• 利用FFT数值求解泊松方程以获得电势与电场，实现快速且精确的全局密度代价评估。
• 将总代价公式化为加权平均线长（采用加权平均模型）与密度惩罚项的组合，并引入自适应平滑参数γ。
• 应用共轭梯度优化方法最小化总代价函数，迭代优化布局坐标。
• 根据溢出比率τ动态调整平滑参数γ与惩罚权重λ，以平衡全局探索与局部优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于FFT的泊松求解器的物理启发静电模型是否能同时提升平面非线性布局的解质量与运行效率？
• RQ2 与局部平滑或二次惩罚方法相比，基于PDE的全局密度模型（通过泊松方程实现）在收敛性与线长最小化方面表现如何？
• RQ3 自适应平滑与动态惩罚权重在非线性布局中能在多大程度上提升收敛速度与解质量？
• RQ4 在大规模布局问题中，基于FFT的电势与电场计算是否优于传统迭代求解器？
• RQ5 在布线线长、运行时间与拥塞控制方面，所提出的FFTPL算法相较于现有最先进布局工具表现如何？

主要发现

• 与Capo10.5相比，FFTPL平均降低HPWL 13.58%；与FastPlace3.0相比降低5.14%；与APlace2相比降低10.24%；与NTUPlace3相比降低7.20%；与mPL6相比降低3.62%。
• 平均而言，FFTPL实现1.00×运行时间归一化（基线值），同时在线长质量上超越所有对比布局工具。
• 在所有基准测试中，FFTPL在1,000次迭代内达到10%溢出比率阈值，表明其具有高效的密度均衡能力。
• 采用自适应γ参数的加权平均（WA）线长模型可降低建模误差并提升收敛稳定性。
• 在八个基准测试中的六个与七个中，FFTPL分别优于RQL与SimPL，展现出更优的解质量。
• 基于FFT的泊松求解器实现了高效的全局信息传播，减少了对迭代局部优化的依赖，从而加速收敛。