[论文解读] FHCP Challenge Set: The First Set of Structurally Difficult Instances of the Hamiltonian Cycle Problem

Michael Haythorpe|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Biofuel production and bioconversion被引用 5

一句话总结

FHCP挑战集引入了1001个结构上困难的哈密顿回路问题实例，旨在挑战仅靠规模难以应对的启发式求解器。这些图来自数学文献、特别构造的困难实例、其他NP问题的转换，以及混合图；其中最困难的实例源自铃乐学问题，经过一年的竞赛后仅剩16个未解决，最终由科恩和库德特解决了985个实例。

ABSTRACT

The FHCP Challenge Set, comprising of 1001 instances of Hamiltonian cycle problem, is introduced. This set is the first to contain instances of Hamiltonian cycle problem for which the primary difficulty is the underlying graph structure, rather than simply size. A summary of the kinds of graphs contained in the FHCP Challenge Set is given. A discussion of the results of the FHCP Challenge, a year-long competition to solve all instances of the FHCP Challenge Set first announced at the 59th Annual Meeting for the Australian Mathematical Society, is also included.

研究动机与目标

• 创建首个因图结构而非规模而困难的哈密顿回路问题实例基准集。
• 解决启发式评估中缺乏标准化、结构上具有挑战性的HCP实例的问题。
• 识别并汇编那些尽管已知具有哈密顿性但仍能抵抗常见HCP求解器的实例。
• 举办为期一年的挑战赛，以测试和比较HCP启发式算法在这些困难实例上的性能。
• 为未来HCP算法的基准测试提供公开可获取的资源。

提出的方法

• 从已知的困难图族中构造实例，包括广义彼得森图GP(n,2)，其中n ≡ 3 mod 6，这些图已知恰好具有三个哈密顿回路。
• 通过向3-正则图添加边来生成唯一哈密顿图，从而创建具有指数级哈密顿回路数量但结构复杂性足以抵抗启发式算法的实例。
• 将其他NP完全问题的实例——如n皇后问题、支配集问题、即时疯狂谜题和Unium谜题——转换为HCP实例，同时保持尺寸膨胀最小化。
• 通过组合多个困难实例来创建混合图，要求求解器识别并分解其组成部分。
• 对图进行随机顶点重标记，以隐藏结构模式，防止启发式算法利用捷径。
• 使用三种主流HCP求解器——Concorde、LKH和蛇梯启发式——评估候选实例，仅选择至少被两个算法卡住的实例。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些类型的图结构会产生对最先进启发式算法具有挑战性的哈密顿回路实例，且与规模无关？
• RQ2 从其他NP完全问题衍生的实例是否能产生尽管已知具有哈密顿性但仍具结构挑战性的HCP实例？
• RQ3 由多个困难组件组成的混合图与单个实例相比，如何挑战现有的HCP求解器？
• RQ4 哪些结构特性会阻止常见启发式算法高效识别哈密顿回路，即使回路数量众多？
• RQ5 预处理或图同构检测在解决原本困难的HCP实例方面能发挥多大作用？

主要发现

• FHCP挑战集包含1001个哈密顿图，所有图均已知为哈密顿图，但因其结构复杂性而非规模而设计为困难。
• 最困难的实例源自铃乐学——特别是仅使用“bobs”的斯蒂德曼三重奏（Stedman Triples）——产生了如Sted4（6930个顶点）、Sted5（5544个顶点）和Sted6（4620个顶点）等图，这些图抵抗了所有测试的启发式算法。
• 在为期一年的挑战赛后，仅剩16个实例未解决：其中三个来自斯蒂德曼三重奏集合，十三个为混合图，且至少包含一个此类实例。
• 科恩和库德特通过采用高级分解与结构分析技术，成功解决了985个实例，是所有参赛者中最多的。
• 谢恩的唯一哈密顿图以及满足n ≡ 3 mod 6的广义彼得森图GP(n,2)可通过多项式时间同构检测求解，原因在于其最大度数较低。
• 来自n皇后问题、支配集问题和Unium谜题的实例被证明足够困难，因此被纳入集合，表明从其他NP问题转换而来的实例可产生困难的HCP实例。