[论文解读] FI_W-modules and stability criteria for representations of the classical Weyl groups

J. Wilson|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用 11

一句话总结

本文引入了FI_W-模作为研究经典Weyl群（S_n, B_n, D_n）表示序列的代数框架，证明有限生成性蕴含统一的表示稳定性——即不可约分解模式随n稳定。它建立了广义旗流形与对角coinvariant代数的上同调特征多项式，将Murnaghan的稳定性结果推广至B/C与D型。

ABSTRACT

In this paper we develop machinery for studying sequences of representations of any of the three families of classical Weyl groups, extending work of Church, Ellenberg, Farb, and Nagpal on the symmetric groups S_n to the signed permutation groups B_n and the even-signed permutation groups D_n. For each family W_n, we present an algebraic framework where a sequence V_n of W_n-representations is encoded into a single object we call an FI_W-module. We prove that if an FI_W-module V satisfies a simple finite generation condition then the structure of the sequence is highly constrained. One consequence is that the sequence is uniformly representation stable in the sense of Church-Farb, that is, the pattern of irreducible representations in the decomposition of each V_n eventually stabilizes in a precise sense. Using the theory developed here we obtain new results about the cohomology of generalized flag varieties associated to the classical Weyl groups, and more generally the r-diagonal coinvariant algebras. We analyze the algebraic structure of the category of FI_W-modules, and introduce restriction and induction operations that enable us to study interactions between the three families of groups. We use this theory to prove analogues of Murnaghan's 1938 stability theorem for Kronecker coefficients for the families B_n and D_n. The theory of FI_W-modules gives a conceptual framework for stability results such as these.

研究动机与目标

• 为经典Weyl群S_n、B_n与D_n的表示序列发展统一的代数框架。
• 将FI-模理论从对称群推广至超octahedral群与偶符号置换群。
• 证明在特征零下，有限生成的FI_W-模是统一表示稳定的。
• 利用该框架分析广义旗流形与r-对角coinvariant代数的上同调。
• 在B/C与D型中建立Murnaghan稳定性定理关于Kronecker系数的类比。

提出的方法

• 引入范畴FI_W并构造编码W_n-表示序列的FI_W-模。
• 定义自由FI_W-模M_W(m)与M_W(U)以生成任意FI_W-模。
• 使用限制与诱导函子关联三类Weyl群家族之间的FI_W-模。
• 应用FI_W-模范畴的诺特性，证明有限生成性蕴含稳定性。
• 引入分次FI_W-代数以建模上同调环与对角coinvariant代数。
• 采用特征多项式与权重过滤分析表示中稳定分解模式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，W_n-表示序列在经典Weyl群中表现出统一的表示稳定性？
• RQ2 FI-模理论如何从对称群推广至超octahedral群与偶符号置换群？
• RQ3 与B_n和D_n相关的广义旗流形的上同调环结构为何？其稳定性如何？
• RQ4 Murnaghan于1938年提出的Kronecker系数稳定性定理能否推广至B/C与D型？
• RQ5 何种特征多项式描述了W_n的r-对角coinvariant代数的稳定特征？

主要发现

• 在特征零下，有限生成的FI_W-模是统一表示稳定的：每个不可约表示在V_n中的重数随n趋于稳定。
• 对角coinvariant代数C^(r)_J(n)的分次部分的特征最终由次数不超过|J|的特征多项式给出。
• 在任意域上，分次部分C^(r)_J(n)的维数最终是n的多项式。
• 上同调环H^*(G^n_W / B^n_W; C)是有限型分次FI_W-代数，其在度数m中的稳定特征由次数不超过m/2的特征多项式给出。
• 在B型与D型中，对小的r与|J| ≤ 3，计算出显式的特征多项式，显示其在指标置换下不变。
• 该理论为表示论中的稳定性现象提供了概念性框架，统一了A、B、C、D型的结果。