[论文解读] Fiber 2-Functors and Tambara-Yamagami Fusion 2-Categories

Thibault D. Décoppet, Matthew Yu|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2023

Carbohydrate Chemistry and Synthesis被引用 11

一句话总结

This paper defines and classifies group-theoretical fusion 2-categories, characterizes fusion 2-categories with fiber 2-functors, and classifies Tambara-Yamagami (TY) defects and TY fusion 2-categories, using G-graded 2-vector space constructions and 4-cocycle twisting.

ABSTRACT

We introduce group-theoretical fusion 2-categories, a strong categorification of the notion of a group-theoretical fusion 1-category. Physically speaking, such fusion 2-categories arise by gauging subgroups of a global symmetry. We show that group-theoretical fusion 2-categories are completely characterized by the property that the braided fusion 1-category of endomorphisms of the monoidal unit is Tannakian. Then, we describe the underlying finite semisimple 2-category of group-theoretical fusion 2-categories, and, more generally, of certain 2-categories of bimodules. We also partially describe the fusion rules of group-theoretical fusion 2-categories, and investigate the group gradings of such fusion 2-categories. Using our previous results, we classify fusion 2-categories admitting a fiber 2-functor. Next, we study fusion 2-categories with a Tambara-Yamagami defect, that is $\mathbb{Z}/2$-graded fusion 2-categories whose non-trivially graded factor is $\mathbf{2Vect}$. We classify these fusion 2-categories, and examine more closely the more restrictive notion of Tambara-Yamagami fusion 2-categories. Throughout, we give many examples to illustrate our various results.

研究动机与目标

• 将 group-theoretical fusion 2-categories 引入为 group-theoretical fusion 1-categories 的范畴化，并将它们与全局对称性子群的 gauging 联系起来。
• 将能够承载 fiber 2-functors 的融合 2-范畴通过单元的 Tannakian 自同构范畴来刻画。
• 通过有限群数据和 4- cocycles 分类带 Tambara-Yamagami 缺陷的融合 2-范畴以及 Tambara-Yamagami 融合 2-范畴。
• 描述 group-theoretical fusion 2-categories 及其双模 2-范畴的基础 2-范畴与部分融合规则。

提出的方法

• 构造并研究 2VectG 与 2VectπG 以建模 G-graded 与 π-twisted 结构。
• 使用刚性代数与双模 2-范畴来实现 Morita 等价并在融合 2-范畴中定义模、双模与对偶。
• 证明若一个融合 2-范畴是 group-theoretical 当且仅当其 ΩC 与某个有限群 H 的 Rep(H) 在 braiding 上同构等价。
• 通过证明 C 等价于 C(G,H,π,ψ)，并具备严格的群分解和 cocycle 数据来对 fiber 2-functors 进行分类。
• 通过从 A ≀ Z/2 构造带有 4-cocycle π 的 TY 2-范畴，develop 一个 TY 分类的 2-范畴类比，并确定何时它们具备 fiber 2-functors。
• 将 TY 缺陷与 group-graded fusion 2-范畴联系起来，并通过 "condensation" 视图描述它们的融合规则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 2-范畴意义上，何时一个融合 2-范畴是 group-theoretical？
• RQ2 一个融合 2-范畴要承载 fiber 2-functor 的必要且充分条件是什么？
• RQ3 在融合 2-范畴框架下，如何对 Tambara-Yamagami 缺陷进行建模和分类？
• RQ4 哪些明确数据（群、 cocycles）用于分类 TY 2-范畴及其等价？
• RQ5 在 (2+1)-维理论中，存在 fiber 2-functors 与 TY 缺陷时，对偶性和凝聚性如何行为？

主要发现

• 一个融合 2-范畴 C 当且仅当其 ΩC 是 Tannakian，即在 braiding 下与某个有限群 H 的 Rep(H) 同构等价。
• 一个融合 2-范畴当且仅当它等价于 C(G,H,π,ψ)，其中 G 有通过子群 H 和 K 的严格分解，以及满足给定约束的 cocycle 数据 π 和 ψ。
• 每个 Tambara-Yamagami 2-范畴都可以用有限交换群 A 的数据以及 H4(A ≀ Z/2; k×) 中对 A⊕A 限制为平凡的类 π 来构造；TY 2-范畴等价性简化为尊重置换积结构且让 π/π′ 平凡的群同构。
• TY(A,π) 在单纯同胚意义下的单模分类由 A 与 π 完全决定；平凡分级的因子是 Mod(VectA) 的 |A| 次平方和。
• 对于阶数为奇数的 A，TY(A,triv) 存在 fiber 2-functor 但当 A 非平凡时并不等价于任何有限 2-群的 2-表示；A=Z/2 的特定情形给出与有限 2-群的 2-表示等价的实例。